浙教版数学九上第4章 相似三角形优生综合题特训

如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若 ，则称线段 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比．

定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.

 

如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．

已知线段a，b，c满足 ，且a＋2b＋c＝26.

（问题情境）

如图①，小区 、 位于一条笔直的道路 的同侧，为了方便 ， 两个小区居民投放垃圾，现在 上建一个垃圾分类站 ，使得 与 ， 的距离之比为 .

 

如图，已知等边 ，在 ， 边分别取点 ， ，使 ，连接 ， 相交于点 .

 

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 经过点 和 .

已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ．

综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 、 两点，与 轴、 轴分别交于 、 两点，且点 的坐标为 .

如图所示，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，动点 在 轴上，点 是线段 的中点．将线段 绕着点 顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连结 、 ．

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）与 轴的两个交点分别为A、B，与 轴相交于点C，点A（ ，0）， ，连接BC，tan∠OCB=2．

如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．

已知正方形 中，点 是边 上一点（不与 、 重合），将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图1，连接 ，分别交 、 于点 、 .

如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴与 轴交于点 .点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度向 运动，过 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 于 .

学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.

（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.

如图所示，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，其对称轴 与 轴相交于点 ，点 为抛物线的顶点.

如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .

如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为

①以点 为旋转中心，将 顺时针方向旋转90°，得到 ；

②以点 为位似中心，将 放大 ，使相似比为 ，且点 在第三象限．

（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.

如图所示，身高1.5米的小明从路灯下的A点经过，测量得身后的影子 的长5米，沿 所在的直线行走10米到B点时，身后的影子 长为2米.

以下是一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成下列问题.

如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形.已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M.