备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（1）

作者UID:15457577

日期: 2024-12-25

三轮冲刺

真题

小东在做九上课本123页习题：“1： $\text{[math]}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\text{[math]}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

已知：点C，D均在直线l的上方， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是直线l的垂线段，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的右侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O.

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上由点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动（不与点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为锐角， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ .

模拟预测

我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 $\text{[math]}$ .

综合与时间

问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.

【教材再现】

在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1，直线 $\text{[math]}$ ，直线m和直线n分别与直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则 $\text{[math]}$ ；

【探究发现】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上（不与点B，点C重合），连接 $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

如图，正方形ABCD的边长为12 m，点E在AB上，AE＝8 m.正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）. 如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场.

如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .将四边形 $\text{[math]}$ 绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形 $\text{[math]}$ ，此时直线 $\text{[math]}$ 、直线 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于点P、Q.

如图，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位速度向 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以都秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向 $\text{[math]}$ 运动，其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.以 $\text{[math]}$ 为边在它的右侧作正方形 $\text{[math]}$ .设两点的运动时间为 $\text{[math]}$ .

如图，矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 共顶点，且绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，满足 $\text{[math]}$ .

如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.

图1 图2

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