备考2023年中考数学压轴题训练 ——解直角三角形

日期: 2025-03-06 三轮冲刺来源：出卷网

真题

【问题情境】

在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【问题探究】

小昕同学将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转.

如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

如图，直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点D，将射线 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ .

在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为锐角， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ .

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

如图，平行四边形ABCD中，DB＝ $\text{[math]}$ ， AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

模拟预测

阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形 $\text{[math]}$ 中，求证： $\text{[math]}$

这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为D，则在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中由正弦定义可完成证明．

解：如图，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为D，

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$

在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题．

已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，∠CDB＝3∠ABD.

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E在线段 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接CD，EF， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【问题提出】

正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径 $\text{[math]}$ 和中心角有什么关系？

【问题探究】

如图①， $\text{[math]}$ 是等边三角形，半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是中心角， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内任意一点， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 各边距离 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的边长是 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， ①

∵ $\text{[math]}$ 又可以表示 $\text{[math]}$ ②

联立①②得 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中位线，四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接矩形（矩形的四个顶点均在 $\text{[math]}$ 的边上）.

综合与实践

问题背景：

在综合与实践课上，老师让同学们探索有一组邻边相等，一组对角互补的四边形的性质．如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

在半径为10的扇形AOB中， $\text{[math]}$ ，延长OB到点C，使 $\text{[math]}$ ．点D为 $\text{[math]}$ 上的动点，点E是扇形所在平面内的点，连接OD，DE，EC，当 $\text{[math]}$ 时，解答下列问题：

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