2023年中考数学探究性试题复习6 分式的混合运算

【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即 ， 则称分式B是分式A的“关联分式”．

例如与 ，

解： ，

，

是的“关联分式”．

“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ， 例如：.

阅读下列材料，解决问题：

定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如： ， 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如 ， 这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

例如：；

又如：

.

材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.

类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.

例如：.

.

材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：

a	…					0	1	2	3	4	…
	…					无意义	1				…

请根据上述材料完成下列问题：

阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：；

立方差公式：.

根据材料和已学知识解决下列问题

定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 ， 则称分式N是分式M的“关联分式”．

【阅读学习】阅读下面的解题过程：

已知： ， 求的值．

解：由知 ， 所以 ， 即 ，

所以 ，

故的值为 ．

利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：

该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， 则是“和谐分式”．

在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： ， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如 ， 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：

＝＝1+ ， ＝＝＝x﹣1+.

参考上面的方法解决下列问题：

阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为 ， ， 则 ， ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： ；

解决下列问题：

我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．

根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法.

例：k为何值时，多项式有一个因式是?

解：设它的另一个因式为（a，b为常数），

则

比较两边的系数，得 ， 解得