2023年中考数学探究性试题复习7 二次根式

观察下列各式．

第1个等式：

第2个等式：

第3个等式：

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，

即：；

例如：比较与2的大小.

∵   又∵   则

∴ ，

∴.

请根据上述方法解答以下问题：

先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ， 请完成下列问题：

在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知 ， 求的值，他是这样解答的：

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴.

∴.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：

已知 ， 求的值．他们是这样解答的：

∵

∴

∴即

∴

∴ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

阅读材料：像 ， ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 ， 求的值．”

聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为

所以

所以 ， 所以

所以 ， 所以 ， 所以

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

观察下列各式：① ， ②；③ ， …

在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知 ， 求的值.他是这样解答的：

∵ ，

∴.

∴.

∴.

∴.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， 善于思考的小明进行了以下探索：

若设（其中、、、均为整数），则有 ， .这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

阅读下面解题过程．

例：化简 ．

解：

请回答下列问题．

设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．

【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，

如：

材料：如何将双重二次根式 ， ， 化简呢？如能找到两个数 ， ， 使得 ， 即 ， 且使 ， 即 ， 那么 ， 双重二次根式得以化简.

例如化简： ，

因为且 ，

，

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到 ， 使得 ， 且 ， 那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）².设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m²+2n²+2mn ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

我们知道， ， ， …如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如： ， .

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

阅读下列材料，然后回答问题． 

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求 ． 我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则 ． 这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）² ． 善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b＝（m+n）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m²+2n²+2mn．∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：