2023年中考数学探究性试题复习12 二次函数

作者UID:15457577

日期: 2024-06-28

三轮冲刺

综合题

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”

例如 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是“不动点”，已知双曲线 $\text{[math]}$

综合与探究．

如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像的“等值点”.

如图1，对于平面上小于或等于 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，我们给出如下定义：若点P在 $\text{[math]}$ 的内部或边上，作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F，则将 $\text{[math]}$ 称为点P与 $\text{[math]}$ 的“点角距”，记作 $\text{[math]}$ .如图2，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，x、y正半轴所组成的角记为 $\text{[math]}$ .

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： $\text{[math]}$ ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.

定义：若直线 $\text{[math]}$ 与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

综合与探究

已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．

一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.

【初步探究】

定义：两个二次项系数之和为 $\text{[math]}$ ，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如： $\text{[math]}$ 的友好同轴二次函数为 $\text{[math]}$ .

如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC= $\text{[math]}$ ， ∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.

在平面直角坐标系中，如果点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标相等，则称点 $\text{[math]}$ 为和谐点，例如：点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……都是和谐点．

【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点 $\text{[math]}$ 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

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