2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归纳法同步练习

日期: 2025-04-02 同步测试来源：出卷网

选择题

用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ 的过程中，由 $\text{[math]}$ 递推到 $\text{[math]}$ 时等式左边增加的项数为（）

A、 1

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的自然数都成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A、 1

B、 2

C、 3

D、 4

用数学归纳法证明等式 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 左端需要增乘的代数式为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 的过程中，由 $\text{[math]}$ 递推到 $\text{[math]}$ 时，不等式左边（）

A、增加了一项 $\text{[math]}$

B、增加了一项 $\text{[math]}$

C、增加了 $\text{[math]}$ ，又减少了 $\text{[math]}$

D、增加了 $\text{[math]}$ ，又减少了 $\text{[math]}$

用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，由 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，左边需要添加的项数为（）

A、 1

B、 k

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用数学归纳法证明下列等式： $\text{[math]}$ ．要验证当 $\text{[math]}$ 时等式成立，其左边的式子应为（）

A、 -1

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用数学归纳法证明不等式1＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋…＋ $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ (n∈N^*)成立，其初始值至少应取（）

A、 7

B、 8

C、 9

D、 10

用数学归纳法证明“不等式 $\text{[math]}$ 对一切正整数 $\text{[math]}$ 恒成立”的第二步中，已经假设 $\text{[math]}$ 时不等式成立，推理 $\text{[math]}$ 成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多项选择题

已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前n项之积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

已知数列 $\text{[math]}$ 均为递增数列， $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

填空题

用数学归纳法证明“ $\text{[math]}$ ”，在验证 $\text{[math]}$ 成立时，等号左边的式子是.

用数学归纳法证明“ $\text{[math]}$ ＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共项．

毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为 $\text{[math]}$ ，总结规律并以此类推下去，第 $\text{[math]}$ 个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题

用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ ．

已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

在数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

在数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列（ $\text{[math]}$ ）．求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此猜测 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明你的结论．

已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ .

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