【备考2024】真题变式分层练：第9题—2023年高考数学全国乙卷（理科）

作者UID:20003303

日期: 2024-11-20

二轮复习

原题

已知 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $\text{[math]}$ 为等边三角形，若二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

基础

已知在三棱锥P-ABC中，PA＝PB， $\text{[math]}$ ABC为锐角三角形，且点P在平面ABC上的投影O₁为 $\text{[math]}$ ABC的垂心，O₂为 $\text{[math]}$ PAB的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则CO₂＝（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

如图，长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为（）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 与该正方体的各个面相切，则平面 $\text{[math]}$ 截此球所得的截面的面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $\text{[math]}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正切值均为 $\text{[math]}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图所示， $\text{[math]}$ 是棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共面时，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在正方体 $\text{[math]}$ 中，下列几种说法不正确的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A、 $\text{[math]}$

B、 B₁C与BD所成的角为60°

C、二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ 与平面ABCD所成的角为 $\text{[math]}$

已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

提升

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角 $\text{[math]}$ 的平面角大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

二面角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且B、C为垂足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 大小为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 $\text{[math]}$ 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 $\text{[math]}$ 的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，有下列四个结论：

① $\text{[math]}$ ；

②点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；

③二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ；

④若四面体 $\text{[math]}$ 的所有顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .

其中所有正确结论的个数是（）

如图是由边长为2的正 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 拼接成的平面图形，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，当二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

从空间一点 $\text{[math]}$ 向二面角 $\text{[math]}$ 分别作垂线 $\text{[math]}$ 为垂足.若 $\text{[math]}$ ，则该二面角的平面角的大小为（）

C、 60°或120°

在矩形ABCD中，O为BD中点且 $\text{[math]}$ ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 $\text{[math]}$ 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为棱BC的中点，直线 $\text{[math]}$ 在平面A₁B₁C₁D₁内．若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ ，E，F分别是棱 $\text{[math]}$ 上的点．记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

培优

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②△ACD是等边三角形；

③AB与平面BCD所成的角为60°；

④AB与CD所成的角为60°．

其中错误的结论是（　　）

已知点M是棱长为4的正方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 的中点.过直线 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 的交点为K，当平面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角最小时， $\text{[math]}$ （）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

已知边长为1的等边三角形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 有一公共边 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 $\text{[math]}$ =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A、平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

B、平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

C、平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

D、平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），且 $\text{[math]}$ ．下列说法不正确的是（）

A、当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

B、当 $\text{[math]}$ 运动时，三棱锥体积 $\text{[math]}$ 不变

C、当 $\text{[math]}$ 运动时，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

D、当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 为定值

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