2024高考一轮复习 第三十二讲 数列综合

南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球， ， 则第40层放小球的个数为（ ）

斐波那契数列满足 ， 其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（    ）项.

等比数列满足 ， 设数列的前项和为 ， 则=（    ）

定义 ， 已知数列为等比数列，且 ， ， 则（ ）

在数列中，若有（ ， 均为正整数，且），就有 ， 则称数列为“递等数列”.已知数列满足 ， 且 ， 将“递等数列”前项和记为 ， 若 ， ， ， 则（ ）

数列的前项和为 ， ， 若该数列满足 ， 则下列命题中错误的是（ ）

设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数 ， 不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：

①若对任意的正整数均有 ， 则为和谐数列；

②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；

③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．

以上3个命题中真命题的个数有（ ）个

已知等比数列的前n项和与前n项积分别为 ， ， 公比为正数，且 ， ， 则使成立的n的最大值为（ ）

由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（    ）

如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”型的装饰品，假设一个“三角垛”装饰品共有n层，记使用的乒乓球数量为 ， 则（    ）

（参考公式：）

已知数列的前项和为 ， 且点总在直线上，则数列的前项和.

参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为升．

如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、 ， 依次构成数列 ， 则.

是数列前项和， ， ， 给出以下四个结论：

①；

②；

③；

④.

其中正确的是（写出全部正确结论的番号）.

数列中， ， .

已知等差数列满足 ， ， 公比不为的等比数列满足 ， .

已知等差数列满足 ， ．

已知数列满足 ， ， 且数列是公比为2的等比数列．

已知数列满足 ， ， .

已知数列是首项为1的等差数列，公差 ， 设数列的前项和为 ， 且 ， ， 成等比数列．

已知是数列的前n项和，且 ．

已知是公比为2的等比数列，为正项数列， ， 当时， ．