高中数学三轮复习（直击痛点）：专题10平面向量“奔驰定理”

2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则 的最小值为（    ）

在直角三角形中，、的重心、外心、垂心、内心分別为 ， ， ， ， 若（其中），当取最大值时，（ ）

在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是（ ）

十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中， ， 是的角平分线，交于 ， 满足若为的费马点，则（ ）

在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是（   ）

十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知 ， ， ， 且点在线段上，且满足 ， 若点为的费马点，则（ ）

已知点O是的内心， ， ， 则（ ）

设M为内一点，且 ， 则与的面积之比为（　　）

平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ， 的面积分别记作 ， ， ， 则有关系式 ． 因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 ， 则O为的（ ）

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，P是三角形内部一点，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，则tanα的值等于（   ）

已知O是三角形ABC内部一点，满足 +2 +m = ， = ，则实数m=（  ）

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，三角形的重心为G.a+b+c= ， 则∠A=（　　）

“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、 ， 则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）

奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( )的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 是锐角 内的一点， 是 的三个内角，且点 满足 ，则（    ）

已知O是所在平面内一点， ， 则与的面积比．

 已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则

如图， 为 内任意一点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .总有优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①若 是 的重心，则有 ；

②若 成立，则 是 的内心；

③若 ，则 ；

④若 是 的外心， ， ，则 .

则正确的命题有.

如图，的内角、、的对边分别为、、 ， 外一点与在同一平面内满足 ， ， ．