备考2024年中考数学核心素养专题四 数与式的阅读理解

阅读材料：对于任何实数，我们规定符号   的意义是   =ad-bc．按照这个规定，若   ＝0，则x的值是（   ）

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行.如：a-1 ， 这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a-1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个.

①若x为整数，为负整数，则x＝-3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m-11（整式部分对应等于5m-11，真分式部分对应等于），则m²+n²+mn的最小值为27.

在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀ ， y₀）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝ ，例如：点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝ ＝ ，根据以上材料，求点P₁（3，4）到直线y＝﹣ x+ 的距离为（ ）

阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax²+bx（a≠0），我们把点（ ， ）称为该抛物线的焦点，把y= 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x²+2x的焦点为（-1， ），准线方程是y= 。根据材料，现已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax²+bx的最值情况，下列说法正确的是（    ）

阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ， 记 ， 那么三角形的面积为 ． 如图，在中， ， ， ， 则边上的高为．

 

读一读：式子“”表示从开始的个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ， 这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．

阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是.

阅读材料：写出二元一次方程x﹣3y=6的几个解： ， ， ，…，发现这些解的一般形式可表示为 （m为有理数）．把一般形式再变形为 ，可得 =y+2，整理得原方程x﹣3y=6．根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程ax+by=c的解，可以写成 （n为有理数），则a+b+c=．

自学下面材料后,解答问题.

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如: >0; <0等.那么如何求出它们的解集呢?

根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:

①若a>0,b>0,则 >0;若a<0,b<0,则 >0;

②若a>0,b<0,则 <0;若a<0,b>0,则 <0.

反之①若 >0,则 或

②若 <0,则或.

根据上述规律,求不等式 >0的解集.

阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：

x	…	－3	－2	－1	1	2	3	…
y	…	2.83	1.73	0	0	1.73	2.83	…

小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”

请回答：

①小聪判断的理由是．

②当时，x的值为．

③请写出函数的一条性质：．

阅读下面材料：在数学课上，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知：如图1，正比例函数和反比例函数的

图象分别交于M、N两点．

要求：在y轴上求作点P，使得∠MPN为直角．

小丽的作法如下：如图2，以点O为圆心，以OM长为半径作⊙O，

⊙O与y轴交于P₁、P₂两点，则点P₁、P₂即为所求．

老师说：“小丽的作法正确．”

请回答：小丽这样作图的依据是

认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示6、3在数轴上对应的两点之间的距离； ， 所以表示6、在数轴上对应的两点之间的距离； ， 所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离。

请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．

【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如： ， 我们称的一个有理化因式是 ．

【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如： ．

问题探究：

阅读下列材料，回答问题.

阅读材料：

已知多项式（a+4）x³+10x²﹣5x+3是关于x的二次多项式， 且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b.

阅读材料：

配方法是初中数学中经常用到的一种重要方法，学好配方法对我们学好数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要恒等．

例如，解方程x²-4x+4=0，有(x-2)²=0，

∴x=2．

再如，由x²-4x+y²-6y+13=0得：

(x²-4x+4)+(y²-6y+9)=0，

即：(x-2)²+(y-3)²=0，

∴x=2，y=3．

根据上述材料解答下列各题：

阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即 ， 也就是说，表示在数轴上数与数对应点之间的距离这个结论可以推广为表示在数轴上数 ， 对应点之间的距离．

例如：解方程 ．

解： ，

     在数轴上与原点距离为的点对应的数为 ， 即该方程的解为 ．

【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

我们定义：形如“ ， ， ， ”为非负数的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．

由图可以得出：绝对值不等式的解集是或 ，

绝对值不等式的解集是 ．

例如：解不等式 ．

解：如图 ， 首先在数轴上找出的解，即到的距离为的点对应的数为 ， ， 则的解集为到的距离大于的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或 ．

参考阅读材料，解答下列问题：

【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：

请根据上述材料解决下列问题：

先阅读下面的材料，然后回答问题：

方程x+=2+的解为x₁=2，x₂=；

方程x+=3+的解为x₁=3，x₂=；

方程x+=4+的解为x₁=4，x₂=

……

阅读材料：

在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线.

如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；

如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分.

请根据以上材料回答问题：

阅读理解题：

阅读材料：

如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为 ， 若 ， 则 ．

证明：设 ， ∵ ， ∴ ，

易证

∴ ，

∴

∴ ，

若时，当 ， 则 ．

同理：若时，当 ， 则 ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线与反比例函数的图象交于点 ， 与轴交于点 ． 将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点 ， 过点作轴于点 ， 过点作轴于点 ， 已知 ．

阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x²+bx+c变形为（x+m）²+n的形式，然后由（x+m）²≥0就可求出多项式x²+bx+c的最小值．

例题：求多项式x²﹣4x+5的最小值．

解：x²﹣4x+5＝x²﹣4x+4+1＝（x﹣2）²+1，

因为（x﹣2）²≥0，所以（x﹣2）²+1≥1．

当x＝2时，（x﹣2）²+1＝1．因此（x﹣2）²+1有最小值，最小值为1，即x²﹣4x+5的最小值为1．

通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

阅读下面的材料：

如果函数 满足：对于自变量 取值范围内的任意 ， ，

（ 1 ）若 ，都有 ，则称 是增函数；

（ 2 ）若 ，都有 ，则称 是减函数.

例题：证明函数 是增函数.

证明：任取 ，且 ，

则

∵ 且 ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴函数 是增函数.

根据以上材料解答下列问题：