备考2024年中考数学探究性训练专题5 因式分解

小明、小花和老师一起探究一个问题：将 因式分解．

小花根据大家的提示，整理出解答过程：

请你依照上述做法，将下列各式因式分解：

观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：

（分成两组）

（直接提公因式）

.

乙：

（分成两组）

（直接运用公式）

（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

阅读材料：若m²－2mn＋2n²－8n＋16＝0，求m、n的值．

解：∵m²－2mn＋2n²－8n＋16＝0，

∴（m²－2mn＋n²）＋（n²－8n＋16）＝0，

∴（m－n）²＋（n－4）²＝0，

∴（m－n）²＝0，（n－4）²＝0，

∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．

例： 能被2009整除吗？

解:

∵ 中有因数2009，

∴ 一定能被2009整除．

请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．

发现与探索．

探究：如何把多项式x²+8x+15因式分解？

阅读以下材料，并解决问题：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式． ． 这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：

例1：

……………………分成两组

………………分别分解

………………………提取公因式完成分解

像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．

如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：

16=5²﹣3² ， 16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：

小明的方法是一个一个找出来的：

0=0²﹣0² ， 1=1²﹣0² ， 3=2²﹣1² ，

4=2²﹣0² ， 5=3²﹣2² ， 7=4²﹣3² ，

8=3²﹣1² ， 9=5²﹣4² ， 11=6²﹣5² ， …

小王认为小明的方法太麻烦，他想到：

设k是自然数，由于（k+1）²﹣k²=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．

所以，自然数中所有奇数都是智慧数．

问题：

探究题：

一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）².设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m²+2n²+2mn ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

提出问题：你能把多项式 因式分解吗？

探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得： ，将该式从右到左使用，就可以对形如 的多项式进行因式分解即 ．观察多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．

解决问题： ．

运用结论：

数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．

[数学实验探索活动]

实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.

实验目的：

用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.

例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b².

问题探索：

我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为 的大正方体进行以下探索：

实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有 或 .

探索问题：