备考2024年中考数学探究性训练专题7 二次根式

某校研究性学习小组在学习二次根式  =|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（   ）

观察式子： ， ； ， ； ， ． 由此猜想 ． 上述探究过程蕴含的思想方法是（    ）

已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 ， 其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 ， 若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）

为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 则图2所示题目（字母代表正数）翻译为，计算结果为.

斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用 [（ ）ⁿ﹣（ ）ⁿ]表示．

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为，第2个数为．

探究：

问题探究：因为 ， 所以

因为 ， 所以因为 ， 所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：

已知 ， 求的值．他们是这样解答的：

∵

∴

∴即

∴

∴ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

探究过程：观察下列各式及其验证过程.
① ②

验证：

验证：

探索规律：

先观察下列等式，再回答问题：

阅读理解下面内容，并解决问题：

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：

① ， ， 和 都是9×4的算术平方根，

而9×4的算术平方根只有一个，所以 = ．

② ， ， 和 都是9×16的算术平方根，

而9×16的算术平方根只有一个，所以　　．

请解决以下问题：

阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ． 善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中a、b、m、n均为整数），则有 ．

      ， ． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．

例如：3＋2＝（1＋）² ， 善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）² ， 则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如： ．

解决问题：

小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 . ， .这样小明就找到了一种把类似 的代数式化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如： ， 我们就说2和互为倒数．

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如： ， 可得与互为倒数．

即 ， ．

类似的， ， ， ， ．

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

阅读材料：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如： ， ， 我们称的一个有理化因式是 ， 的一个有理化因式是 ．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如： ，

．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

若 是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究．

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知 ， 求的值.他们是这样解答的：

即

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中 ， ， ， 都是正整数），则有.∴ ， ， 这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法.

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ． 善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有 ． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， 善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，

∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．

这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于 ， ， 即： ， ， 所以 ，

问题：

探究逼近 的有理近似值.

方法介绍：

经过 步操作( 为正整数)不断寻找有理数 ， ，使得 ，并且让 的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,直观理解通过等分线段的方法不断缩小 对应的点 所在线段的长度(二分法)  

思路分析：

在数轴上记 ， 对应的点分别为 ， 和 的平均数 对应线段 的中点（记为 ）.通过判断 还是 ，得到点 是在二等分后的“左线段 ”上还是“右线段 ”上，重复上述步骤，不断得到 ，从而得到 更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”：

有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：