北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

日期: 2025-04-02 期中考试来源：出卷网

选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）

在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 ﹣4

B、 1

C、 2

D、 4

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是（）

A、既不共线也不垂直

B、垂直

C、同向

D、反向

（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ 是平面内四个不同的点，则“ $\text{[math]}$ ”是“四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形”的（）

A、充分而不必要条件

B、必要而不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件

等边 $\text{[math]}$ 的边长为2，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，需要把函数 $\text{[math]}$ 的图象（）

A、向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

B、向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

C、向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

D、向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有 $\text{[math]}$ 满足“勾3股4弦5”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，则 $\text{[math]}$ =（）

A、 3

B、 4

C、 9

D、不能确定

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则求 $\text{[math]}$ ．

已知非零平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

其中正确命题的序号是．

如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $\text{[math]}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $\text{[math]}$ n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；

(2)灯塔C与D处的距离．

$\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行．

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的面积．

已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 $\text{[math]}$ 存在，并完成下列两个问题．
条件①： $\text{[math]}$ 为奇函数；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$

对于任意实数a，b，c，d，表达式 $\text{[math]}$ 称为二阶行列式，记作 $\text{[math]}$ ．

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