精选新定义型题—2024年浙教版数学七（上）期中复习-组卷题库站

有理数

对于任何有理数，我们规定符号 $\text{[math]}$ 的意义是 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 值为.

若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\text{[math]}$ 1=2， 3!=3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 1=6，……，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“2的圈3次方”， $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的圈4次方”，一般地把 $\text{[math]}$ 写作a的圈n次方读作“a的圈n次方”．

【初步探究】

（1）直接写出计算结果： $\text{[math]}$ _________； $\text{[math]}$ _________；

【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

$\text{[math]}$

（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： $\text{[math]}$ _________， $\text{[math]}$ _________．

（3）算-算： $\text{[math]}$ ．

小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．小尚同学尝试计算 $\text{[math]}$ ，现在请小志同学计算 $\text{[math]}$ ．

定义新运算“*”，规定 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 6

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 18

规定如下两种运算： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的值为79，则 $\text{[math]}$

定义一种新运算， $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是。

定义一种运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

规定一种运算： $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 -10

B、 6

C、 $\text{[math]}$

D、 10

小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序： $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值为．

对于实数 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 的含义为∶ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，例如∶ $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为两个连续正整数，则 $\text{[math]}$ 的值为.

定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

对于实数 $\text{[math]}$ ，我们规定[x]表示不大于 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .对数99进行如下操作： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数520变为1需要进行操作的次数是（）

类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ ，读作“2的引4次商”.一般的，把 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“a的引n次商”.

概念学习

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a ， (n个a ， a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．

观察下列两个等式：

2×＝2²－2×－2，

4×＝4²－2×－2，

给出如下定义：我们称使等式ab＝a²－2b－2成立的一对有理数a ， b为“方差有理数对”，记做(a ， b)，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“方差有理数对”．

数轴

阅读信息：

信息一： $\text{[math]}$ 的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如 $\text{[math]}$ 的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

信息二：对于有理数a，b，n，d，若 $\text{[math]}$ ，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如， $\text{[math]}$ ，则6和3关于1的“双倍关系值”为5．

根据以上信息回答下列问题：

阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A ， B ，若数轴上存在点M ，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”

解答下列问题：

对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到点N的距离为d(d≥0)，则称d为点M到点N的追击值，记作d[MN].例如，在数轴上点M表示的数是6，点N表示的数是2，则点M到点N的追击值d[MN]=4.

阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：

实数

任何实数a，可用 $\text{[math]}$ 表示不超过a的最大整数，如 $\text{[math]}$ ，现对72进行如下操作： $\text{[math]}$ ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

已知x，y为有理数，如果规定一种运算“@”，即x@y＝xy+x+y，试根据这种运算完成下列各题.

∵4<7<9，即2< $\text{[math]}$ <3，∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ -2．

请你观察上述式子规律后解决下面的问题．

规定：用符号 $\text{[math]}$ 表示一个不大于实数x的最大整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．按这个规定，求 $\text{[math]}$ ．

规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[ $\text{[math]}$ +1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣ $\text{[math]}$ ]＝﹣2.按这个规定，[﹣ $\text{[math]}$ ﹣1]＝.

已知min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}＝min{ $\text{[math]}$ ， 9² ， 9}＝3．当min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}＝ $\text{[math]}$ 时，则x的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

我们规定： $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数．如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现已知 $\text{[math]}$ 对所有正整数n成立，则 $\text{[math]}$ 的值为．

代数式

在实数范围内定义运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ．若代数式1-4b+2a的值是17，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

定义：若 $\text{[math]}$ ，则称x与y是关于m的相关数．

设x，y都表示有理数，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

用“ $\text{[math]}$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为常数).例如： $\text{[math]}$ .

阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2-1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”.

用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y ， xPy＝a²x²-2ay+1（a为常数）．例如：1P2＝a²×1²-2a×2+1＝a²-4a+1．

用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b ，规定a⊗b＝ab²+2ab+a ．如：1⊗3＝1×3²+2×1×3+1＝16．

一般情况下 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．

对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如： $\text{[math]}$ ，其中称 $\text{[math]}$ 为“数1”， $\text{[math]}$ 为“数2”， $\text{[math]}$ 为“数3”， $\text{[math]}$ 为“数4”， $\text{[math]}$ 为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到： $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的个数是（）

①代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果②代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果③代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果④代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果