综合与实践

正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1，在正方形 中，以 为直径作半圆 ，以 为圆心， 为半径作 ，与半圆 交于点 .我们称点 为正方形 的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形 无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．

性质探究：如图2，连接 并延长交 于点 ，则 为半圆 的切线．

证明：连接 ．

由作图可知， ，

又 ．

，∴ 是半圆 的切线．

问题解决：