小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点D是弧 上一动点，线段 点A是线段 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点F.当 为等腰三角形时，求线段 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：