问题提出：

如图a所示的5×3网格（每一个小正方形的边长均为单位长度1）中，共有多少个长方形（包含正方形）？

问题探究：

为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后出一般性的结论，为了更好的探究规律，在本次探究过程中，我们约定所有长方形横向为长，竖向为宽．

探究一：

对于1×1同格（如图①），显然，只有1个长方形．

对于1×2同格（如图②），所有长方形的宽均为1，长可能是1，也可能是2．按照从小到大的顺序，长为1的长方形有2个，长为2的长方形有1个，所以共有个长方形．

而2对于1×3网格（如图③），所有长方形的宽均为1，长可能是1，可能是2，可能是3，按照从小到大的顺序，长为1的长方形有3个，长为2的长方形有2个，长为3的长方形有个，所以，共个长方形．

探究二：

对于2×1网格（如图④），所有长方形的长均为1，宽可能是1，可能是2．宽为1时可以看成由2个1×1网格组成，长方形有2×1个；宽为2时，把中间的横线隐去，就可以看成由1个“图①”组成，所以长方形有1×1个，因此，共有个长方形．

对于2×2网格（如图⑤），长方形的宽可能是1，可能是2．宽为1时，可以看成由2个1×2回格组成，所以长方形有个；宽为2时，把中间的横线隐去，就可以看成中1个“图②”组成，所以长方形有个，因此，共在个长方形．

对于2×3网格（如图⑥），长方形的宽可能是1，可能是2．宽为1时，可以看成由2个1×3网格组成，长方形个；宽为2时，可把中间的横线隐去，就可以看成由1个“图③”网格组成，所以长方形有个，因此，共有）个长方形．

探究三：

对于3×1网格（如图⑦），长方形的长均为1，宽可能是1，可能是2，可能是3．宽为1时，可以看成由3个1×1网格组成，所以长方形3×1个；宽为2时，把中间的横线是隐去，就可以看成由2个“图①”网格组成，所以长方形2×1个；宽为3时，把中间的横线隐去，就可以看成由1个“图①”网格组成，所以长方形有1×1个．因此，共有个长方形．

对于3×2网格（如图⑧），长方形的宽可能是1，可能是2，可能是3．宽为1时，可以看成由3个1×2网格组成，所以长方形有个；宽为2时，把中间的横线隐去，就可以看成由2个“图②”同格组成，所以长方形有个；宽为3时，把中间的横线隐去，就可以看成由1个“图②”同格组成，所以长方形有个，因此，共有个长方形．

对于3×3网格（如图⑨），长方形的宽可能是1，可能是2，可能是3．宽为1时，可以看成由3个1×3网格组成，所以长方形有个；宽为2时，把中间的横线除去就可以看成由2个“图③”网格组成，所以长方形在个；宽为3时，把中间的横线隐去，就可以看成由1个“图③”网格组成，所以长方形有个，因此，共有个长方形．