用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况

下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ， 分别分和两种情况进行分析：

⑴时，抛物线开口向上．

①当时，有 ． ∵ ， ∴顶点纵坐标 ．

∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．

②当时，有 ． ∵ ， ∴顶点纵坐标 ．

∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．

∴一元二次方程有两个相等的实数根．

③当时，

……

⑵时，抛物线开口向下．

……