浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题5 探究性几何问题

作者UID:15457577

日期: 2024-05-20

三轮冲刺

单选题

在如图所示的网格中，已知线段AB，现要在该网格内再确定格点C和格点D，某数学探究小组在探究时发现以下结论：以下结论错误的是（）

A、将线段 $\text{[math]}$ 平移得到线段 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 为正方形的有2种；

B、将线段 $\text{[math]}$ 平移得到线段 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 为菱形的（正方形除外）有3种；

C、将线段 $\text{[math]}$ 平移得到线段 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 为矩形的（正方形除外）有两种；

D、不存在以 $\text{[math]}$ 为对角线的四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（）

A、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：

①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝ $\text{[math]}$ AC·BD.其中正确的结论有（）

如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察探究可以得到∠NBC的度数是（）

在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）

A、 ∠OCB=2∠ACB

B、 ∠OAB+∠OAC=90°

C、 AC=2 $\text{[math]}$

D、 BC=4 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 的半径为2，圆心 $\text{[math]}$ 在坐标原点，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在第二象限，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为（0，2）.现将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转150°，点 $\text{[math]}$ 运动到了 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别运动到了点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 处，即得到正方形 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合）；再将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转150°，点 $\text{[math]}$ 运动到了 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别运动到了点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 处，即得到正方形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合），……，按上述方法旋转2020次后，点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A、（0，2）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了图②，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2 014次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）

如图甲，直角三角形 $\text{[math]}$ 的三边a，b，c，满足 $\text{[math]}$ 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙， $\text{[math]}$ 是腰长为1的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底，在 $\text{[math]}$ 外侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，再延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底，在 $\text{[math]}$ 外侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，……，按此规律作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，n为正整数），则 $\text{[math]}$ 的长及 $\text{[math]}$ 的面积分别是（）

A、 2， $\text{[math]}$

B、 4， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 2， $\text{[math]}$

已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）

C、 $\text{[math]}$ ﹣1

D、 $\text{[math]}$ ﹣1

填空题

在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使得点B落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ；再将 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 折叠，此时点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上的同一点R处．请完成下列探究：

“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积公式，公式为S = a + $\text{[math]}$ -1.小明只记得公式中的表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图 2 中多边形的面积是.

观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点O，共有对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有对对顶角；探究：若有 $\text{[math]}$ 条直线相交于同一点，则可形成对对顶角．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C₁ ，它与x轴交于点O，A₁ ，将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ， C₂与x 轴交于另一点A₂ ．继续操作并探究：将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，与x 轴交于另一点A₃；将C₃绕点A ₂旋转180°得C₄ ，与x 轴交于另一点A₄ ，这样依次得到x轴上的点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，及抛物线C₁ ， C₂ ， …，C_n ， …．则点A₄的坐标为；C_n的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式表示) ．

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD.

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 $\text{[math]}$ ，CE=4，则DE的长为.

综合题

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

【问题提出】如何把n个边长为1的正方形，剪拼成一个大正方形？

问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是什么；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.

探究与发现：

探究等边三角形“手拉手”问题．

综合与探究

【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB，∠EDF=90，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系。

【探究发现】

已知线段 $\text{[math]}$ ，点M是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，点C是圆周上一点且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点A做直线 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

小华同学根据学习函数的经验，分别对函数 $\text{[math]}$ ，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是该同学的探究过程，请补充完整：

我们学过正多边形及其性质，了解了正多边形各边相等、各内角相等、具有轴对称性和旋转不变性……，下面我们继续探究正五边形相关线段及角的关系：

如图1，正五边形ABCDE中，

如图①②，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠A=90°；

某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质．

小娜根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：

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