备考浙教版中考数学题型专项训练数与式解答题专练-组卷题库站

综合题

若一个整数能表示成 a²+b²（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，13＝3²+2² ，所以 13 是“完美数”．再如，M＝x²+2xy+2y²＝（x+y）²+y²（x，y 是整数），所以 M 也是“完美数”．

若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

请仿照上面的方法求解下面问题：

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小．例如：

对于任意两个代数式M，N的大小比较，有下面的方法：

当M－N＞0时，M ＞N；

当M－N＝0时，M＝N；

当M－N＜0时，M ＜N.

反过来也成立. 因此，我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”．

对于比较两个正数a，b的大小，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵a²－b²＝（a＋b）（a－b），a＋b＞0，

∴（a²－b²）与（a－b）的符号相同.

当a²－b²＞0时，a－b＞0，得a＞b；

当a²－b²＝0时，a－b＝0，得a＝b；

当a²－b²＜0时，a－b＜0，得a＜b．

问题解决

给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式 $\text{[math]}$ 的特征系数对.把关于x的二次多项式 $\text{[math]}$ 叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式.

观察下列式子： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图1，可以得到 $\text{[math]}$ 这个等式，请解答下列问题：

把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用.例如：若代数式 $\text{[math]}$ ，利用配方法求M的最小值；

$\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

∴当 $\text{[math]}$ 时，代数式M有最小值1.

请根据上述材料解决下列问题：

数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.

材料一：把根式 $\text{[math]}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 变成 $\text{[math]}$ ，开方，从而使得 $\text{[math]}$ 化简.

例如：化简 $\text{[math]}$

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $\text{[math]}$ ，5）的“横负纵变点”为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

请选择合适的材料解决下面的问题：

如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＝10m+n．如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＝100a+10b+c．

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.

将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，这样，分式就拆分成一个分式 $\text{[math]}$ 与一个整式 $\text{[math]}$ 的和的形式.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s．

滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目	里程费	时长费	远途费
单位	1.3元/公里	0.3元/分钟	0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．

对于有理数a、b定义一种新运算a⊗b＝ $\text{[math]}$ ，如5⊗3＝3×5﹣2×3＝9，1⊗3＝1﹣ $\text{[math]}$ ×3＝﹣1；请按照这个定义完成下列计算：

已知a，b互为倒数，x，y互为相反数．

观察图，解答下列问题．

对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数P，将它各个数位上的数字平方后再取其个位，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，称此时的 $\text{[math]}$ 为自然数P的“忘忧数”，并规定忘忧值： $\text{[math]}$ ，例如123，各数字平方后取个位分别为1，4，9，再重新组合为149，194，419，491，914，941，因为 $\text{[math]}$ 最小，所以194是原三位数123的“忘忧数”，此时忘忧值 $\text{[math]}$ ．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“非常距离”，给出如下定义：

若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ ；

若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ .

例如：点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的“非常距离”为 $\text{[math]}$ ，也就是图1中线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 长度的较大值(点 $\text{[math]}$ 为垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 与垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 交点).

材料一：对于一个四位数 $\text{[math]}$ ，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：

$\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， ∴5247是“间位等和数”；

$\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， ∴3145不是“间位等和数”

材料二：将一个四位数 $\text{[math]}$ 千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .例如 $\text{[math]}$ ，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以 $\text{[math]}$ .