备考2024年中考数学探究性训练专题23 图形的旋转-组卷题库站

选择题

如图，正方形 $\text{[math]}$ 边长为4，点E在边 $\text{[math]}$ 上运动，在 $\text{[math]}$ 的左侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时， $\text{[math]}$ ；②当线段 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ .下列判断正确的是（）

填空题

一副三角板如图所示，叠放在一起.若固定△AOB，将△ACD绕着公共点A按顺时针方向旋转α度(0＜α＜180).请你探索，当△ACD的一边与△AOB的一边平行时，相应的旋转角α的度数.

如图，Rt△BAC， ∠ACB=30°，∠BAC=90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：

如图， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 内点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请完成下列探究：

四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C₁ ，它与x轴交于点O，A₁ ，将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ， C₂与x 轴交于另一点A₂ ．继续操作并探究：将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，与x 轴交于另一点A₃；将C₃绕点A ₂旋转180°得C₄ ，与x 轴交于另一点A₄ ，这样依次得到x轴上的点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，及抛物线C₁ ， C₂ ， …，C_n ， …．则点A₄的坐标为；C_n的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式表示) ．

理论探究题

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是射线 $\text{[math]}$ 上一点（不与点C重合），连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

如图①．四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交正方形的对角线 $\text{[math]}$ 于G、H两点，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转90°后，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E ， F分别在正方形ABCD的边BC ， CD上，∠EAF＝45°，连接EF ，则EF＝BE＋DF ，试说明理由．

【问题情境】
如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．

【发现证明】如图(1)所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，在判断BE，EF，FD之间的数量关系时，小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.

把两个等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图①所示的位置摆放，将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）到图②所示位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

已知 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 的对应点分别是点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ．

【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $\text{[math]}$ 页的部分内容．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，根据画出的图形，可以猜想： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明 $\text{[math]}$ 无需证明 $\text{[math]}$

综合与实践

如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC ，垂足为E ， GF⊥CD ，垂足为F ．

综合与实践：

综合与实践

问题情境：如图1，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 有公共顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图1图2图3

已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠MAN的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠MAN = 60*．

问题解决

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .你能求出 $\text{[math]}$ 的度数和等边 $\text{[math]}$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

如图①将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $\text{[math]}$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．易证四边形CEGP是正方形．

综合与实践

定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．

实践探究题

综合与实践

问题情境：

在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 $\text{[math]}$ ，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形纸片沿对角线 $\text{[math]}$ 剪开，得到两个全等的直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 固定不动， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转一定角度，得到 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．