北京市东城区2019届高三下学期理数综合练习（一)

在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则复数 可取（   ）

正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为（   ）

若 满足 ，则 的最大值为（ ）

已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 ， 两点，与其准线交于点 .若点 是 的中点，则线段 的长为（   ）

南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 ，则“ 相等”是“ 总相等”的 （   ）

已知数列 满足： ， ，则下列关于 的判断正确的是（   ）

在 的展开式中， 的系数是.（用数字作答）

在 中，若 ，则 =.

若曲线 （ 为参数）关于直线 ( 为参数)对称，则 ；此时原点 到曲线 上点的距离的最大值为.

已知向量 ，向量 为单位向量，且 ，则 与 夹角为.

已知函数 ，若 都有 成立，则满足条件的一个区间是.

设 是 的两个子集，对任意 ，定义：

①若 ，则对任意 ， ；

②若对任意 ， ，则 的关系为.

已知函数 ，且 .

(Ⅰ) 求 的值及 的最小正周期；

(Ⅱ) 若 在区间 上单调递增，求 的最大值.

改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

如图，在棱长均为 的三棱柱 中，点 在平面 内的射影 为 与 的交点， 分别为 的中点．

（Ⅰ）求证：四边形 为正方形；

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 没有公共点，求 的值.

设函数 的极小值点为 .

（I）若 ，求 的值 的单调区间；

（II）若 ，在曲线 上是否存在点 ，使得点 位于 轴的下方？若存在，求出一个 点坐标，若不存在，说明理由.

已知椭圆 与 轴交于两点 ，与 轴的一个交点为 ，△ 的面积为2.

（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；

（Ⅱ）在 轴右侧且平行于 轴的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 与直线 交于点 .以原点 为圆心，以 为半径的圆与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），求 的值.

已知 ，数列 中的项均为不大于 的正整数. 表示 中 的个数 .定义变换 ， 将数列 变成数列 其中 .

（Ⅰ）若 ，对数列 ，写出 的值；

（Ⅱ）已知对任意的 ，存在 中的项 ，使得 .求证： 的充分必要条件为

（Ⅲ）若 ，对于数列 ，令 ，求证：