2012年高考理数真题试题（福建卷）

若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（   ）

等差数列{a_n}中，a₁+a₅=10，a₄=7，则数列{a_n}的公差为（   ）

下列命题中，真命题是（   ）

一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（   ）

下列不等式一定成立的是（   ）

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（   ）

设函数 ，则下列结论错误的是（   ）

已知双曲线 ﹣ =1的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（   ）

若函数y=2^x图象上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数m的最大值为（   ）

函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁ ， x₂∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；

②f（x²）在[1， ]上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；

④对任意x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄∈[1，3]，有  [f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]

其中真命题的序号是（    ）

（a+x）⁴的展开式中x³的系数等于8，则实数a=

．

阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于

．

已知△ABC得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos +1，前n项和为S_n ， 则S₂₀₁₂=

对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= 设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁ ， x₂ ， x₃ ， 则x₁x₂x₃的取值范围是．

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌	甲			乙
首次出现故障时间x（年）	0＜x＜1	1＜x≤2	x＞2	0＜x≤2	x＞2
轿车数量（辆）	2	3	45	5	45
每辆利润（万元）	1	2	3	1.8	2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X₁ ， 生产一辆乙品牌轿车的利润为X₂ ， 分别求X₁ ， X₂的分布列；

（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

1）sin²13°+cos²17°﹣sin13°cos17°

2）sin²15°+cos²15°﹣sin15°cos15°

3）sin²18°+cos²12°﹣sin18°cos12°

4）sin²（﹣18°）+cos²48°﹣sin²（﹣18°）cos48°

5）sin²（﹣25°）+cos²55°﹣sin²（﹣25°）cos55°

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．

（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；

（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

（Ⅲ）若二面角A﹣B₁E﹣A₁的大小为30°，求AB的长．

如图，椭圆E： 的左焦点为F₁ ， 右焦点为F₂ ， 离心率e= ．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=e^x+ax²﹣ex，a∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

（1）选修4﹣2：矩阵与变换

设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1．

（Ⅰ）求实数a，b的值．

（Ⅱ）求A²的逆矩阵．

选修4﹣4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ ），圆C的参数方程 （θ为参数）．

（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 =m，求证：a+2b+3c≥9．