2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练3 定义新运算-组卷题库站

单选题

如果规定符号“*”的意义为：a*b $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A、 6

B、－6

C、 $\text{[math]}$

D、－ $\text{[math]}$

现定义一种新运算“*”，规定 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 1

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

对于有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 化简后得（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

任意四个有理数a、b、c、d，定义了一种新运算： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则x的值为（）

A、 2

B、 3

C、 6

D、 $\text{[math]}$

若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =15，……观察以上计算过程，寻找规律．计算 C₈5=（）

已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3.6]＝3，[﹣0.9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.6}＝1.6﹣[1.6]＝0.6，计算{4.9}﹣{﹣1.8}的结果为（）

我们常用的十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×7³＋5×7²＋1×7¹＋3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

已知有理数 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的差倒数，如：2的差倒数是 $\text{[math]}$ ，-1的差倒数是 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数…依此类推，那么 $\text{[math]}$ 的值是（）

A、 -3

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

规定一种新运算：a⊗b＝a²﹣2b，若2⊗ [ 3 ⊗（﹣x）]＝6，则x的值为

如果定义新运算： $\text{[math]}$ ，那么（1※2）※3的值为．

定义一种新运算“※”：对于任意有理数x和y，x※y= $\text{[math]}$ （a为常数）.例如：2※3=2×3+（2+3）a+1=5a+7.若2※（-1）的值为3，则a的值为.

定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝．

如图定义一种新运算“⊗”，如：2⊗1＝ $\text{[math]}$ ＝2；x⊗y＝ $\text{[math]}$ ，则（4⊗2）⊗（﹣1）＝．

已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a²+ab﹣5，例如：1#2＝1²+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 .

已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝2b﹣3a，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（3※2）※5＝．

符号“ $\text{[math]}$ ”表示和，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

符号“ $\text{[math]}$ ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …；

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …．

利用以上规律计算： $\text{[math]}$ =．

在计算 $\text{[math]}$ 的值时，可设 $\text{[math]}$ ， ①则 $\text{[math]}$ ②．∴②-①，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，试利用上述方法求 $\text{[math]}$ 的值：．

解答题

已知x，y为有理数，现规定一种新运算“ $\text{[math]}$ ”，满足 $\text{[math]}$ ．

设 $\text{[math]}$ 为实数，则我们把形如 $\text{[math]}$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $\text{[math]}$ ，请利用此法则解决以下问题：

用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab²＋2ab＋a，如：1☆3＝1×3²＋2×1×3＋1＝16．

用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定x⊗y＝ $\text{[math]}$ ．

对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为： $\text{[math]}$ ，如：5※3＝2×5﹣3＝7， $\text{[math]}$ ．

阅读下列材料，并解决下面的问题：

我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 $\text{[math]}$ 可以变形为 $\text{[math]}$ 也可以变形为 $\text{[math]}$ .在式子 $\text{[math]}$ 中，3叫做以2为底8的对数，记为 $\text{[math]}$ 一般地，若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 叫做以 $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 的对数，记为 $\text{[math]}$ 且具有性质：

$\text{[math]}$

其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

根据上面的规定，请解决下面问题：

对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的友好距离，记为（POQ）．

例如：P，Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．

定义：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数轴上三点，若点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离2倍，我们就称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点．

例如；如图1，点 $\text{[math]}$ 表示的数为-1，点 $\text{[math]}$ 表示的数为2．表示1的点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是2，到点 $\text{[math]}$ 的距离是1，那么点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点；又如，表示0的点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是1，到点 $\text{[math]}$ 的距离是2，那么点 $\text{[math]}$ 就不是 $\text{[math]}$ 的美好点，但点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点．

如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数轴上两点，点 $\text{[math]}$ 所表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 所表示的数为 $\text{[math]}$ ．