广东省汕头市2023届高三上学期数学期中考试试题

作者UID:6898401

日期: 2024-11-14

期中考试

单选题

设i是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

已知M，N都是实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件．

A、充分不必要

B、必要不充分

D、既不充分也不必要

$\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $\text{[math]}$ .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

已知 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为O，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3， $\text{[math]}$ 底面A₁B₁C₁D₁ ，底面扇环所对的圆心角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ 长度的3倍，且线段 $\text{[math]}$ ，则该“曲池”的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 为奇函数且 $\text{[math]}$ 为偶函数，则下列结论一定正确的是（）

A、函数 $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$

B、函数 $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题

给出下列命题，其中正确命题为（）.

对于定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，同时满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为增函数；②当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 值域也为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（）

已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

填空题

$\text{[math]}$ 的展开式中常数项是．

已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上的点，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最小距离为．

如图所示，已知点G是 $\text{[math]}$ 的重心，过点G作直线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两边于M，N两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2，点M是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直的平面与侧面 $\text{[math]}$ 的交线为l，则直线l与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

解答题

$\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$

已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 均在斜率为 $\text{[math]}$ 的直线上. 数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为长方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，半焦距为1，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆恰好过椭圆 $\text{[math]}$ 的上、下顶点.

设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，

（i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点

（ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

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