中考数学优生特训：图形变换-组卷题库站

单选题

如图是一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .把该纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 4

如图是一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 中点，点F在 $\text{[math]}$ 上，把该纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点A、B的对应点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G， $\text{[math]}$ 的延长线经过点C.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、 △COF∽△CEG

B、 OC=3OF

C、 AB：AD=4：3

D、 GE= $\text{[math]}$ DF

在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论，其中正确的有（　　）个.

（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S_△EFC＝ $\text{[math]}$ ；（4）CF＝ $\text{[math]}$ GE

如图，过边长为2的等边 $\text{[math]}$ 的顶点C作直线 $\text{[math]}$ ，然后作 $\text{[math]}$ 关于直线l对称的 $\text{[math]}$ ， P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

如图， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ， D，E分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 1

D、 2

如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到正方形 $\text{[math]}$ ，依此方式连续旋转2023次得到正方形 $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A、（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图所示，正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内接于五边形 $\text{[math]}$ ，该五边形是轴对称图形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为对称边， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：①四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，② $\text{[math]}$ ，③若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ，其中正确的说法有（）个.

如图，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点M在CD边上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于AM所在的直线对称，延长CB到点F，使得 $\text{[math]}$ ，分别连接AF，EF，则线段EF的长为（）．

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处，且 $\text{[math]}$ 经过点B，EF为折痕，当 $\text{[math]}$ ⊥CD时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.则下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为 $\text{[math]}$ ；③若点F恰好落在弧BC上，则AD= $\text{[math]}$ ④当AD=2时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 EF扫过的面积是 $\text{[math]}$ 。其中正确结论的序号是。

何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形 $\text{[math]}$ 边长为1，G是 $\text{[math]}$ 边的中点，E是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点.

如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，点M是边 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点F，那么 $\text{[math]}$ 的长为．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 的方向在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上运动，将矩形沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在矩形的对角线上时，点 $\text{[math]}$ 运动的距离为.

如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．

如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝．

如图，等腰三角形 $\text{[math]}$ 的底边 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，面积是 $\text{[math]}$ ，腰 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为．

如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为．

如图，一次函数y＝- $\text{[math]}$ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为.

解答题

古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，

∴CB= ▲ ，C′B= ▲ ，

∴AC+CB=AC+CB′= ▲ ．

在△AC′B′，

∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．

拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB= 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）

已知一个等边三角形纸片 $\text{[math]}$ ，将该纸片放置在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，使边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴重合，点 $\text{[math]}$ 落在第一象限，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）如图①，若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（Ⅱ）如图②，将四边形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为折痕，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且使 $\text{[math]}$ 轴．

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论；

②求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅲ）如图③，将四边形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 点重合， $\text{[math]}$ 为折痕，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值（直接写出结果即可）．

在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 $\text{[math]}$ ，以点A为旋转中心，把 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，得 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 $\text{[math]}$ 轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $\text{[math]}$ 上的一点P旋转后的对应点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

如图1，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，然后将矩形展平.如图2，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在折痕 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，再将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，此时顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处.

求证： $\text{[math]}$

如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．

①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；

②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；

③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是．(直接写出结论)

综合题

如图，在 $\text{[math]}$ 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的动点，且运动过程中始终保持 $\text{[math]}$ .