人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划—

正方形性质与判定的证明

已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．求证：矩形ABCD是正方形．

如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F.求证： $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，交 $\text{[math]}$ 于点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点E，F，已知 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形.

如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：

（特殊）平行四边形的动点问题

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）

如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，

①CP的长为 _▲_ cm（用含t的代数式表示）；

②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以 $\text{[math]}$ cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<1≤10)s．过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF。

已知，AB＝18，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形．设点P的运动时间为t．

四边形中的线段最值问题

如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm.

在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动.连接AE和DF交于点P，则运动时间t为秒时，P、C两点间的距离最小.

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为3， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点E在正方形 $\text{[math]}$ 内，在对角线 $\text{[math]}$ 上有一点P，使 $\text{[math]}$ 的和最小，则这个最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 3

D、 2

如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）

A、 4

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 5

如图，在边长为5的正方形 $\text{[math]}$ 中，点M为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点P是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是.

存在性问题

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．

因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，

所以EF＝FG＝GH＝HE＝ $\text{[math]}$ ，设EB＝x，则BF＝ $\text{[math]}$ ﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC

∴BF＝AE＝ $\text{[math]}$ ﹣x

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x²+（ $\text{[math]}$ ﹣x）²＝1²

解得，x₁＝x₂＝ $\text{[math]}$

∴BE＝BF，即点B是EF的中点．

同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．

所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍

探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）

探究三：已知边长为1的正方形ABCD， ▲ 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）

探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中有 $\text{[math]}$ 四点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）在下图中描出 $\text{[math]}$ 四点，再连接 $\text{[math]}$ ；

（II）直接写出线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的位置关系；

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得三角形 $\text{[math]}$ 与三角形 $\text{[math]}$ 的面积相等.若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 于点C．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，求出B、C两点的坐标；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 若D是线段OC上的点，且 $\text{[math]}$ 的面积为4，求直线BD的函数解析式．

$\text{[math]}$ Ⅲ $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

如图所示，一条线段AB平移一段距离后得到线段A’B’，连接AA’，BB’可以得到一个平行四边形ABB’A’请据此回答下面问题：

在平面直角坐标系中有A点（1，0），B点（-2，1），C点（-1，-3），若坐标平面内存在点D，使得A，B，C，D四点恰好能构成一个平行四边形，求D点的坐标.

综合训练

如图，正方形 ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A，D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点、则有下列结论：

①∠BGF是定值；②FB平分∠AFC：③当E运动到AD中点时，GH= $\text{[math]}$ ：④当AG+BG= $\text{[math]}$ 时，四边形GEDF的面积是 $\text{[math]}$ ，其中正确的是（ )

A、 ①②④

B、 ①②③

C、 ①③④

D、 ②③④

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒.

如图，正方形 $\text{[math]}$ 内有一点A ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向 $\text{[math]}$ 形外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

如图，点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ．

如图1，已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．