【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的连续性

函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁ ， x₂∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；

②f（x²）在[1， ]上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；

④对任意x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄∈[1，3]，有  [f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]

其中真命题的序号是（    ）

如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（       ）．

已知函数 ， ，若存在 ，使得 成立，则m的取值范围是（   ）

已知函数 是定义在R上的奇函数，且对于任意的 都有 成立，若 ，则下列结论成立的是（    ）

若对于定义在 上的函数 ，其图象是连续不断的，且存在常数 使得 对任意实数 都成立，则称 是一个“ 特征函数”．下列结论中正确的个数为（   ）

① 是常数函数中唯一的“ 特征函数”；

② 不是“ 特征函数”；

③“ 特征函数”至少有一个零点；

④ 是一个“ 特征函数”．

函数f(x)＝3^x＋ x－2的零点所在的一个区间是（ ）

若函数 在R上是增函数，则实数a的取值范围是（   ）

已知函数 f（x）=asinx+cosx ， ，若 ，使得 ，则实数a的取值范围是（    ）

已知定义在[﹣2，1]上的某连续函数y=f（x）部分函数值如表：

x	﹣2	﹣1	0	1
f（x）	﹣1.5	﹣1	0.8	2

有同学仅根据表中数据作出了下列论断：

①函数y=f（x）在[﹣2，1]上单调递增；   ②函数y=f（x）在[﹣2，1]上恰有一个零点；

③方程f（x）=0在[﹣2，﹣1]上必无实根．④方程f（x）﹣1=0必有实根．

其中正确的论断个数是（   ）

已知函数在x=1处连续，则a的值为（　　）

已知函数在x=1处连续，则a+b=（　　）

函数f（x）= ， 点x=3是f（x）的（　　）

函数f（x）=是连续函数，则a﹣b=（　　）

函数f（x）= ， 在x=1处连续，则实数m=（　　）

“a=1”是“函数f（x）=在x=1处连续的（　　）

函数在x=1处连续，则a的值为（　　）

已知函数 （ 且 ）， .若对任意 ，不等式 恒成立，则 ； 的最小值是.

已知函数 是R上的减函数，则a的取值范围是.

若定义在R上的函数 ，其图像是连续不断的，且存在常数 使得 对任意实数x都成立，则称 是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为.

① 是一个“k～特征函数”；② 不是“k～特征函数”；

③ 是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“ ～特征函数”至少有一个零点；

已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为.

已知函数 ，其中 ，若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立， ．（并且写出 的取值范围)

已知a＞0，a≠1，若函数在点x=﹣2处连续，则a=

若函数在点处连续，则实数a= 

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为 

函数满足对任意x₁≠x₂都有成立，则a的取值范围是

为使函数f（x）=在x=﹣1处连续，则定义f（﹣1）=

设函数f（x）在x=0处可导，且f（0）=0，函数g（x）= ， 试确定a的值，使g（x）在x=0处连续．

设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=ξ．

（1）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数值恰好取一次？

（2）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数恰好取二次？

（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；

（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀﹣δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．