【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：抽象函数及其应用

已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（   ）

若函数 的定义域为R，且 ，则 （    ）

已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （    ）

函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）

在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离 ， 该距离也称曼哈顿距离．已知点 ， 若 ， 则的最小值与最大值之和为（    ）

定义区间 ， ， ， 的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中 ， 为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（ ）

已知定义在上的函数 ， 对于给定集合 ， 若 ， 当时都有 ， 则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ）

设函数的定义域为 ， 且满足 ， ， 当时， ， 则（ ）

对于定义在区间上的函数 ， 若满足： ， 且 ， 都有 ， 则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且 ， ， 又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ）

已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 的取值范围是（   ）

若对 ， ，有 ，函数 ，则 的值   

已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+4）=﹣f（x），且函数y=f（x+2）是偶函数，当x∈（0，2]时， ，当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为3，则a的值等于（   ）

设函数 是定义在 上的单调函数，且对于任意正数 有 ，已知 ，若一个各项均为正数的数列 满足 ，其中 是数列 的前 项和，则数列 中第18项 （   ）

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（　　）

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x³+x² ， 则f（2）=．

已知函数 ， 记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则；除以17的余数是．

已知定义在上的函数满足 ， 且的图象关于直线对称.若时， ， 则.

函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，若 ，则 .

已知周期为 的函数 满足 ，当 时， ，则当 时（ 为自然对数的底数），关于 的不等式 在区间 上的整数解的个数为．

黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：

，若函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 ，当 时， ，则 .

已知 、 、 与 、 、 是 个不同的实数，若关于 的方程 的解集 是有限集，则集合 中最多有个元素

已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）= ，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．

若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x²﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．

已知定义在[0，1]上的函数满足：①f（0）=f（1）=0，②对于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．若当所有的x，y∈[0，1]时，|f（x）﹣f（y）|＜k，则k的最小值为．

若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+3）≥f（x）+3和f（x+2）≤f（x）+2，且f（1）=1，则f（2 017）的值为．

设函数的定义域是R，它的导数是 ． 若存在常数 ， 使得对一切恒成立，那么称函数具有性质 ．

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．

①求证：f（ ）=f（m）﹣f（n）；

②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；

③比较f（ ）与 的大小．

已知定义在上的函数 ， 满足 ， 且当时，.

已知函数的定义域为 ， 且对一切 ， ， 都有 ， 当时，总有.

定义在 上的函数 满足 且 ．当 时， ．

对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称“局部中心函数”.

设函数y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2：

（Ⅰ）求f（2）的值；

（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；

（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．

现定义：设 是非零实常数，若对于任意的 ，都有 ，则称函数 为“关于的 偶型函数”