福建省福州市闽清二中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题

日期: 2025-04-01 月考试卷来源：出卷网

单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，M为 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列命题中正确的（）

A、若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线平行

B、若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 一定不共面

C、若存在不全为0的实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面

D、对于空间的任意一个向量 $\text{[math]}$ ，总存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

在空间直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于y轴的对称点为C ，则 $\text{[math]}$ =（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 3

D、 $\text{[math]}$

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点M为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点P在正方形 $\text{[math]}$ 的边界及其内部运动．给出以下四个结论：

①存在点P满足 $\text{[math]}$ ；

②存在点P满足 $\text{[math]}$ ；

③满足 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$ ；

④满足 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论的个数为（）

A、 1

B、 2

C、 3

D、 4

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中，曲线C： $\text{[math]}$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线C围成的图形的面积是 $\text{[math]}$

②曲线C围成的图形有2条对称轴；

③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；

④若P(m ， n)是曲线C上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

其中正确结论的个数为（）

A、 1

B、 2

C、 3

D、 4

已知椭圆的方程为 $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上在第一象限的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，E为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，则下列选项中正确的是（）

以下四个命题为真命题的是（）

已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，以下四个命题表述正确的是（）

已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 为半径作圆与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一、二、三、四象限依次交于A ， B ， C ， D四点，若 $\text{[math]}$ ，则（）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距是.

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于A ， B两点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上的两点， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 所截的弦长最小值为．

解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 的底面是菱形，且 $\text{[math]}$

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点M为正方形 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 上的动点．

已知圆 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 三点.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知两点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .如图，动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上方），且 $\text{[math]}$ .

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作椭圆的切线 $\text{[math]}$ ，切点为A ， B.

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条浙近线方程为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在双曲线上.

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