高中数学三轮复习（直击痛点）：专题15空间几何体的外接球

作者UID:7319097

日期: 2024-09-28

三轮冲刺

选择题

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， D为BC 的中点且 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 为正三角形时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球 $\text{[math]}$ 上一动点，且点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

下列物体不能被半径为2(单位： $\text{[math]}$ )的球体完全容纳的有（）

A、所有棱长均为 $\text{[math]}$ 的四面体

B、底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱

C、上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台

D、底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱雉

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=3， $\text{[math]}$ ， △ADE与 $\text{[math]}$ 都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在五面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该五面体的外接球的半径为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在上底面 $\text{[math]}$ （包括边界）上运动，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积的最大值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ．若三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，球O的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在边长为6的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，现将菱形 $\text{[math]}$ 沿对角线BD折起，当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正三角形，以AC为折痕将 $\text{[math]}$ 折起，使D点达到P点位置，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积取得最大值，且最大值为 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，若将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使得四面体 $\text{[math]}$ 的外接球半径为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

已知圆锥 $\text{[math]}$ 的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为 $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与 $\text{[math]}$ 重合），则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为.

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个顶点均在同一球面上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，则该球的表面积为.

已知正 $\text{[math]}$ 边长为1，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为．

已知侧面积为 $\text{[math]}$ 的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ，则球O的表面积为.

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为．

已知点 $\text{[math]}$ 均在半径为2的球面上， $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为.

多项选择题

下列物体，能够被半径为 $\text{[math]}$ 的球体完全容纳的有（）

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，现分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，记为点 $\text{[math]}$ ，翻折后得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，则（）

如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ （不包含端点）上，则下列结论正确的有（）个

已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为a ，则以下说法正确的是（）

如图，若正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是正方体在侧面 $\text{[math]}$ 上的一个动点 $\text{[math]}$ 含边界 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

解答题

如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

如图①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为AB，BC，BB₁ ，的中点．

如图，在三棱推 $\text{[math]}$ 中，高 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ．

已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.

已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $\text{[math]}$ ，且这个几何体的体积为10.

有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：

正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

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