湖南重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

作者UID:11003641

日期: 2024-11-14

期末考试

选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

设复数z满足 $\text{[math]}$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ 等于（）

已知角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆的交点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化､网络化､智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注. $\text{[math]}$ 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通 $\text{[math]}$ 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进 $\text{[math]}$ 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇 $\text{[math]}$ 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个 $\text{[math]}$ 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个 $\text{[math]}$ 基站时要到（）

A、 2022年12月

B、 2023年2月

C、 2023年4月

D、 2023年6月

已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

设椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点分别为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点.若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

已知当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则正实数 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

下列说法正确的是（）

设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，并且满足条件 $\text{[math]}$ .则下列结论正确的是（）

已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，则（）

下列有关正方体的说法，正确的有（）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 最小时，劣弧 $\text{[math]}$ 的长为.

已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共焦点 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为两曲线的一个公共点，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 三点共线，且 $\text{[math]}$ 轴上点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为； $\text{[math]}$ 的最小值为.

解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

已知函数 $\text{[math]}$ .

用总长为 $\text{[math]}$ 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多 $\text{[math]}$ ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $\text{[math]}$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子 $\text{[math]}$ 分别在正方形对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上移动，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度保持相等，记 $\text{[math]}$ .

已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$

阅读材料并解决如下问题：Bézier曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau对Bézier曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点到焦点距离的最小值为 $\text{[math]}$ .

设 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 恒成立.

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