备考2024年中考数学核心素养专题六 数与式的新定义问题

定义一种新运算：※ ， 则※的是（   ）．

定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），当x₁﹤x₂时，都有y₁﹤y₂ ， 称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④ ， 是增函数的（ ）

对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如： ， ， .对26进行如下操作： ， 即对26进行2次操作后变为2.若对整数a进行2次操作后变为3，则a的最大值为（ ）

定义一种运算： ， 则不等式的解集是（ ）

定义新运算： ， 则对于函数 ， 下列说法正确的是（ ）

 定义新运算：  例如   ，  则  的图像可能是（ ）

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且 ， 6能被6整除；643不是“好数”，因为 ， 10不能被3整除.则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（   ）

定义 ，当 时， ，当 ＜ 时， ；已知函数 ，则该函数的最大值是（   ）

定义：如果代数式( ， ， ， 是常数)与( ， ， ， 是常数)，满足 ， ， ， 则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、 ， 下列三个结论正确的个数为（ ）

①若 ， ， 则的值为-1；

②若为常数，关于的方程与的解相同，则；

③若 ， 为常数，的最小值为 ， 则有最小值，且最小值为1.

我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

对于实数a，b，定义运算“◎”如下：

a◎b＝（a+b）²-（a-b）² ． 若（m+1）◎（m-2）＝16，

则m＝．

定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且 ， 则称这个正整数为“智慧优数”.例如，就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

对于任意非零实数a、b，定义一种新运算“*”如下：a*b= ， 则1*2+ 2*3+3*4+……+2020*2021=  ．

定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b= ．若(x+1) x= ，则x的值为

若定义一种新运算： ， 例如：@ ， @下列说法：

定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为 ， 将其沿直线翻折后的图象记为 ． 当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为．

在实数范围内定义新运算“”，其规则为： ， 根据这个规则，解决下列问题：

定义一种新运算： ， 如 ， 按照上述定义计算的值.

定义：若两个二次根式a ， b满足 ， 且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．

请你根据王老师所给的内容（如表），完成下列各小题．

我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a〇b＝ax+by．例如：3〇2＝3x+2y．

对于数轴上不重合的两点A ， B ， 给出如下定义：若数轴上存在一点M ， 通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

对于平面直角坐标系中的点 ， 给出如下定义：当时，；当时 ， k叫做点P的“斜值”．

 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．

若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” ， 其“明德点”为.

对于正数 ， 用符号表示的整数部分，例如 ， ， 点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为 ， 垂直于轴的边长为 ， 那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为 ， 宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是 ．

根据上面的定义，回答下列问题：

【定义】在平面直角坐标系xOy中，对于点和点 ， 给出如下定义：若 ， 则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是 ， 点的限变点的坐标是 ．

【应用】

定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。

定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．

例如：的“同轴对称抛物线”为 ．

定义：在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点P ， 若在外存在点 ， 使得 ， 则称点P为的“内二分点”.

新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．