备考2024年中考数学核心素养专题九数与式的探究型问题

作者UID:15457577

日期: 2024-07-01

二轮复习

选择题

我们这样来探究二次根式 $\text{[math]}$ 的结果，当a＞0时，如a=3，则 $\text{[math]}$ =3，此时 $\text{[math]}$ 的结果是a本身；当a=0时， $\text{[math]}$ =0．此时 $\text{[math]}$ 的结果是零；当a＜0时，如a=﹣3，则 $\text{[math]}$ =﹣（﹣3）=3，此时 $\text{[math]}$ 的结果是a的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（）

A、分类讨论

B、数形结合

观察下列关于 $\text{[math]}$ 的单项式，探究其规律： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …按照上述规律，第2023个单项式是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

观察下列两行数：

0，2，4，6，8，10，12，14，16，…

0，3，6，9，12，15，18，21，24，…

探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（）

小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程 $\text{[math]}$ 的解，列表如下：

x	0	0.5	1	1.5	2
$\text{[math]}$	－1	－5.375	－3	6.875	25

据此可知，方程 $\text{[math]}$ 的一个解x的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

某数学小组在研究了函数y₁=x与y₂＝ $\text{[math]}$ 性质的基础上，进一步探究函数y=y₁＋y₂的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y₁＋y₂的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y₁＋y₂的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y₁＋y₂的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y₁＋y₂的图象上．以上结论正确的是（）

学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 $\text{[math]}$ 的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（）

①该函数的定义域为 $\text{[math]}$ ；

②该函数与x轴没有交点；

③该函数与y轴交于点 $\text{[math]}$ ；

④若 $\text{[math]}$ 是该函数上两点，当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ .

A、 ①②③④

C、 ① ②③

在数学活动课上，王老师出示一道数学题目：“在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ 为何值时，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线段 $\text{[math]}$ 有唯一公共点或有两个公共点？”某学习小组经探究得到以下四个结论：

①当 $\text{[math]}$ 时，有唯一公共点；②若 $\text{[math]}$ 为整数，则仅当 $\text{[math]}$ 的值为4或5或6或7时，才有唯一公共点；③若 $\text{[math]}$ 为整数，则当 $\text{[math]}$ 的值为1或2或3时，有两个公共点；④当 $\text{[math]}$ 时，有两个公共点．其中正确的结论有（）

小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x²-4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找值为1时的x值，小亮负责找值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值。几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）

A、小明认为只有当x=2时，x²-4x+5的值为1；

B、小亮认为找不到实数x，使x²-4x+5的值为0；

C、小花发现当取大于2的实数时，x²-4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值；

D、小梅发现x²-4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；

观察下列关于x的单项式，探究其规律： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……，按照上述规律，第2023个单项式是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）

填空题

如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……．根据这个规律，探究可得点 $\text{[math]}$ 的坐标是．

在探究一元二次方程x²+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表：

x	1.1	1.2	1.3	1.4
x²+12x﹣15	-0.59	0.84	2.29	3.76

小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位是．

如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上的动点，且三点的横坐标依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 小华用软件 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的几何特征进行了探究，发现 $\text{[math]}$ 的面积是个定值，则这个定值为．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C₁ ，它与x轴交于点O，A₁ ，将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ， C₂与x 轴交于另一点A₂ ．继续操作并探究：将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，与x 轴交于另一点A₃；将C₃绕点A ₂旋转180°得C₄ ，与x 轴交于另一点A₄ ，这样依次得到x轴上的点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，及抛物线C₁ ， C₂ ， …，C_n ， …．则点A₄的坐标为；C_n的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式表示) ．

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x，作A₁（1，0）关于y＝x的对称点B₁ ，将点B₁向右水平平移2个单位得到点A₂；再作A₂关于y＝x的对称点B₂ ，将点B₂向右水平平移2个单位得到点A₃；…．请继续操作并探究：点A₃的坐标是，点B₂₀₁₄的坐标是．

如图1，点 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上一点，连接$OA$，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，小明通过对 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的关系展开探究，发现 $\text{[math]}$ 的值为；如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，依此进行下去.记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

实践探究题

阅读材料： $\text{[math]}$ ，求a，b的值．

解：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

根据你的观察，探究下面的问题：

阅读材料：若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值．

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．

根据你的观察，探究下面的问题：

根据学习函数的经验，对函数y＝|x|－1的图象与性质进行探究，请补充完整下面的探究过程：

某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示这三个数的平均数，用 $\text{[math]}$ 表示这三个数中最小的数，例如： $\text{[math]}$ ．
请结合上述材料，解决下列问题：

小东同学根据函数的学习经验，对函数y = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 进行了探究，

下面是他的探究过程：

在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.

比如： $\text{[math]}$ .善于动脑的小明继续探究：

当 $\text{[math]}$ 为正整数时，若 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

综合与探究：随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆 $\text{[math]}$ 型汽车、3辆 $\text{[math]}$ 型汽车的进价共计80万元；3辆 $\text{[math]}$ 型汽车、2辆 $\text{[math]}$ 型汽车的进价共计95万元.

小宇在学习过程中遇到了一个函数 $\text{[math]}$ ．

下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：

【探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质】

探究函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质，探究过程如下：

【问题提出】计算 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是正整数）

【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中，

第1行圆圈中的数为1，即 $\text{[math]}$ ；

第2行两个圆圈中数的和为2+2=2×2，

即 $\text{[math]}$ ；

第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=3×3

即 $\text{[math]}$ ；

……；

第 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 个圆圈中数的和为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .所有圆圈中数的和为 $\text{[math]}$ .

要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：

探究一：计算 $\text{[math]}$ .

将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）.则图2中所有数字之和为 $\text{[math]}$ ，所以得到等式 $\text{[math]}$ .

综合与探究

如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C ．

某数学兴趣小组在探究函数y=|x²-4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程：

试卷列表

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