备考2024年中考数学核心素养专题十二几何图形的最值问题-组卷题库站

选择题

如图，菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在坐标轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A、 3

B、 5

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝ $\text{[math]}$ ，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （）

A、 CD取最大值时

B、 AC⊥AD时

C、 CD⊥DE时

D、 OC⊥AB时

如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝ $\text{[math]}$ BD ，连接AE ， CF ，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）

A、等于定值5- $\text{[math]}$

B、有最大值 $\text{[math]}$

C、有最小值 $\text{[math]}$

D、有最小值 $\text{[math]}$

如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（）

A、随点C的运动而变化，最小值为 $\text{[math]}$

B、随点C的运动而变化，最大值为8

C、随点C的运动而变化，最大值为 $\text{[math]}$

D、随点C的运动而变化，但无最值

设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）

A、有最大值 $\text{[math]}$ π

B、有最小值 $\text{[math]}$ π

C、有最大值 $\text{[math]}$ π

D、有最小值 $\text{[math]}$ π

如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，点C是半径 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位于直线 $\text{[math]}$ 同侧的两个等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ 周长的最小值为6

D、四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 2 $\text{[math]}$

C、 2 $\text{[math]}$

D、 3 $\text{[math]}$

如图，分别经过原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

如图，在平面直角坐标系中 A(3，0)，B(0，4)，AB=5，P 是线段 AB 上的一个动点，则 OP 的最小值是．

如图所示的图案绕中心旋转n°后能与原来的图案完全重合，则n的最小值为

如图，点C为线段 $\text{[math]}$ 的中点，E为直线 $\text{[math]}$ 上方的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰，A为直角顶点作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大，且最大值为 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 直径，点C是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点P是直径 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为.

三角形的两条边长分别为4和 $\text{[math]}$ ，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为．

平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，且实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到原点 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点，P是以点 $\text{[math]}$ 为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ ，则线段OQ的最大值是.

已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上任意两点，将线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿着点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 折叠，使得 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值的差为.

在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O ， $\text{[math]}$ ．点E是 $\text{[math]}$ 的中点，若点F是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是平面内一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕D点逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ （填度数）度时， $\text{[math]}$ 可以取最大值，最大值等于．

综合题

在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值.

如图

[感知]如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，易知△ADC≌△ABE．(不要求证明)

[探究]如图②，在△ABC中，已知∠ACB=135°，∠BAD=90°，BC=1，AC=2，AB=AD，求CD的长．

[应用]如图③，在△ABC中，BC=2，AC=1．以△ABC的边AB为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD，则线段CD长度的最大值是 ▲

对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．

已知点N（3，0），A（1，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

对于平面直角坐标系中的两个图形K₁和K₂ ，给出如下定义：点G为图形K₁上任意一点，点H为K₂图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K₁和K₂的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），边长为 $\text{[math]}$ 的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，给出如下定义：若点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $\text{[math]}$ 的“近距离”，记为 $\text{[math]}$ ．特别地，当图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 有公共点时， $\text{[math]}$ ．

已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），

在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若 $\text{[math]}$ 与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 $\text{[math]}$ ”．

阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题：

如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少.

小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：

小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝ $\text{[math]}$ .但没有办法继续求解.

小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.

由△A′BP∽△DCP，得 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$

所以BP＝ $\text{[math]}$ .

过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝10.

所以当BP＝ $\text{[math]}$ 时，AP+DP有最小值，最小值为10.

任务：

（概念学习）

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位后，使某图形上所有点在 $\text{[math]}$ 内或 $\text{[math]}$ 上，则称 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ 对该图形的“最近覆盖距离”.例如，如图①， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 对线段 $\text{[math]}$ 的“最近覆盖距离”为 $\text{[math]}$ .

（概念理解）

【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当 $\text{[math]}$ 的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图1， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度称为点A与直线 $\text{[math]}$ 之间的距离，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长度也是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离.