备考2024年中考数学探究性训练专题3 新定义问题

对于实数a，b定义运算“®”为 ， 例如：-2，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）

如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用 ， ， 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）

现定义运算：对于任意实数a，b，都有a★b=a²-3a+b，如：3★5=3²-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）

对于多项式： ， 只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”。然后再进行运算，并将化简的结果记为。

例如： ， 交换后； ， 交换后

下列相关说法正确的个数是：

①存在一种“交换操作”，使其运算结果为

②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；

③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果．

定义：在平面直角坐标系中，对于点 ， 当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点A与点B都是点的“倍增点”，连接OA ， OB ， AB ， 则△OAB的面积为（ ）

定义新运算：对于两个不相等的实数a ， b ， 我们规定符号max{a ， b}表示a ， b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x ， -x}＝ ， 则x的值是（　　）

新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x²-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）

对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax²+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（　　）

在多项式x-y-z-m-n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n＝x-y-z+m-n ， |x-y|-z-|m-n|＝x-y-z-m+n ， …．下列说法：

 ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； 

 ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； 

 ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 

 其中正确的个数是（　　） 

定义一种关于整数n的“F”运算：

⑴当n是奇数时，结果为3n+5；

⑵当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．

例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2023次运算结果是（　　）

定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为.

对于任意两个非零实数a，b定义新运算“*”如下： ， 例如：若 ， 则的值为.

对于任意两个非零实数定义新运算“*”如下 ， 例如：.若 ， 则的值为。

定义新运算 ， 规定 . 方程 的解为 ．

材料：如果一个四位自然数M各个数位上的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x ， 后两位数字组成的两位数记为y ， 规定： ， ， 当为整数时，称这个四位数M为“励志数”，则；若“励志数” ， （ ， ， ， a ， b ， c为整数），且除以7余数为2，则．

对于一个函数，自变量取时，函数值也等于 ， 则称是这个函数的不动点．已知二次函数 ．

①若3是此函数的不动点，则的值为；

②若此函数有两个相异的不动点 ， ， 且 ， 则的取值范围为．

 【定义】平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”．

例如，在图中，Rt△ABC的边BC∥x轴，AC∥y轴，且点A，B在反比例函数

的图象上，则Rt△ABC是反比例函数的“伴随直角三角形”．

定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a ， b），B（c ， d），若点T（x ， y）满足x ， y ， 那么称点T是点A、B的“和美点”．

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”．

我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．

定义：若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac ． 则称此方程为“和美”方程．

若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ， 点Q的坐标为 ， 和的差构成一个新函数y，即 ． 称y是的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）

如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”.

对于平面内的一个四边形，若存在点О，使得该四边形的一条对角线绕点О旋转一定角度后能与另-条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点О是该四边形的一个“旋点”例如，在矩形MNPQ中，对角线MP，NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”.

我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点 ， 如果满足 ， 那么称两点互为“等差点”．

【综合与实践】

定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形．

 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．

定义：当取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.