2024年初中数学二轮复习专题——数学活动：杠杆与分段计费-组卷题库站

选择题

住院医疗费(元)	报销率(%)
不超过500元的部分	0
超过500~1000元的部分	60
超过1000~3000元的部分	80
……	……

A、 1000元

B、 1250元

C、 1500元

D、 2000元

某小区实行“阶梯水价”收费，若每户用水不超过10吨，每吨收费a元；超过10吨，超过部分每吨加收1元，一用户12月份用水14吨，缴纳水费32元，根据题意列方程为（）

杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内， $\text{[math]}$ 之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（）

A、在量程范围内，质量m越大， $\text{[math]}$ 之间的距离l越大；

B、未挂重物时， $\text{[math]}$ 之间的距离l为 $\text{[math]}$ ；

C、当 $\text{[math]}$ 之间的距离l为 $\text{[math]}$ 时，重物质量m为 $\text{[math]}$ ；

D、在量程范围内，重物质量m每增加 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离l增加 $\text{[math]}$ ．

由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力 $\text{[math]}$ 动力臂 $\text{[math]}$ 阻力 $\text{[math]}$ 阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

华容县为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20吨，每吨收费2元；若用水超过20吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费52元，则他家该月用水吨．

下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）

打车方式	出租车	3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米
打车方式	滴滴快车	路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟
说明	打车的平均车速40千米/时

假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．

为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元．

某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 $\text{[math]}$ 扩大到原来的n（ $\text{[math]}$ ）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．

如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离 $\text{[math]}$ cm与所挂物重 $\text{[math]}$ kg之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为 $\text{[math]}$ cm，挂 $\text{[math]}$ kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为 $\text{[math]}$ cm．则当秤砣到秤纽的水平距离为 $\text{[math]}$ cm时，秤钩所挂物重为．

某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别县挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．

解答题

为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：

每户每月用电量（度）	电费（元/度）
不超过200度	$\text{[math]}$
超过200度且不超过500度的部分	$\text{[math]}$
超过500度的部分	$\text{[math]}$

燃油车和新能源车是人们在购车过程中的两个不同选择，方方调查了两款售价相同的燃油车和新能源车的相关数据．燃油车每千米的行驶费用为0.6元，若行驶距离均为600km，燃油车的花费比新能源车多300元．

目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．

一户居民一个月用电量（单位：度）		电价（单位：元/度）
第1档	不超过180度的部分	0.5
第2档	超过180度的部分	0.7

某市出租车收费标准如下表所示，根据此收费标准，解决下列问题：

行驶路程	收费标准
不超出 $\text{[math]}$ 的部分	起步价8元
超出 $\text{[math]}$ 的部分	2.5元／ $\text{[math]}$

某市城市居民用电收费方式有以下两种：

普通电价：全天0.52元／千瓦时；

峰谷电价：峰时0.55元／千瓦时（8：00～21：00）；谷时0.35元／千瓦时（21：00～次日8：00）.

小明家所在小区经过电表升级改造之后下月起实施峰谷电价，已知小明家下月计划总用电量为400千瓦时.

某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：

档次	月用电量	电价（元/度）
第1档	不超过240度的部分	a
第2档	超过240度但不超过400度的部分	0.65
第3档	超过400度的部分	$\text{[math]}$

已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．

某公园有以下A，B，C三种购票方式：

种类	购票方式
A	一次性使用门票，每张8元
B	年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票
C	年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票

某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如表：

价目表
每月用电量	价格
不超过180千瓦时的部分	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 千瓦时
超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 千瓦时
超过280千瓦时的部分	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 千瓦时

为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消费按月份结算， $\text{[math]}$ 表示立方米）

价目表
每月用水量	价格
不超过 $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$
超出 $\text{[math]}$ 不超出 $\text{[math]}$ 的部分	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$
超出 $\text{[math]}$ 的部分	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$

如表是某市居民每月用水收费标准 $\text{[math]}$ 单位：元 $\text{[math]}$ 立方米 $\text{[math]}$ ，设用户每月用水量为 $\text{[math]}$ 立方米．

每月用水量 $\text{[math]}$ 立方米 $\text{[math]}$	单价 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 立方米 $\text{[math]}$
小于或等于 $\text{[math]}$ 立方米	$\text{[math]}$
超出 $\text{[math]}$ 立方米的部分	$\text{[math]}$

为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表：

若某户居民去年用水量为 $\text{[math]}$ 立方米，则其应缴纳水费为 $\text{[math]}$ 元．

有下列两种移动电话计费方法：

	月使用费/元	主叫限定时间/min	主叫超时费/（元/min）	被叫
A套餐	38	100	0.2	免费
B套餐	98	500	0.25	免费

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．

某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：

寄往本省内		寄往周边省份
首重	续重	首重	续重
8元/千克	5元/千克	12元/千克	6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为一个计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算）．

例如：寄往省内一件1.6千克的物品，运费总额为： $\text{[math]}$ 元．寄往省外一件2.3千克的物品，运费总额为： $\text{[math]}$ 元．（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）

某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：

用水量/月	单价（元/m³）
不超过20 m³	2.05
超过20 m³的部分	3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费

下面是国家邮政局关于信函邮资的规定．

业务种类	计费单位	资费标准／元
		本地资费	外地资费
信函	首重 $\text{[math]}$ 内，每重 $\text{[math]}$ （不足 $\text{[math]}$ 按 $\text{[math]}$ 计算）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
	续重 $\text{[math]}$ 每重 $\text{[math]}$ （不足 $\text{[math]}$ 按 $\text{[math]}$ 计算）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

实践探究题

某移动公司推出两款“ $\text{[math]}$ 套餐”，计费方式如下：

套餐类别	套餐一	套餐二
通话不超时且	通话200分钟及以下，	通话250分钟及以下，
流量不超量	流量 $\text{[math]}$ 及以下，	流量 $\text{[math]}$ 及以下，
	各种费用月费共计69元．	各种费用月费共计99元．
通话超时或	通话超时部分加收0.15元/分；	通话超时部分加收0.12元/分；
上网超量	流量超量部分加收2.5元 $\text{[math]}$ ．	流量超量部分加收2元/ $\text{[math]}$ ．

【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，

【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： $\text{[math]}$ ，其中秤盘质量 $\text{[math]}$ 克，重物质量 $\text{[math]}$ 克，秤砣质量 $\text{[math]}$ 克，秤纽与秤盘的水平距离为 $\text{[math]}$ 厘米，秤组与零刻线的水平距离为 $\text{[math]}$ 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为 $\text{[math]}$ 厘米．