备考2024年中考数学探究性训练专题22 图形的轴对称-组卷题库站

选择题

A、 $\text{[math]}$

B、 4

C、 6

D、 $\text{[math]}$

在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（）

①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．

填空题

“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究.如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上不与端点B，C重合的一个动点，第一步，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ；第二步，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点D的对应点为 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的一个顶点时，线段 $\text{[math]}$ 的长度为.

小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图所示图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是.

利用图形分．和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=6，b=3，则长方形ABCD的面积是．

如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 $\text{[math]}$ 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 $\text{[math]}$ ．图中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示折痕，折后 $\text{[math]}$ 的对应点分别是 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则纸片折叠时 $\text{[math]}$ 的长应取．

数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，他们将纸片对折使 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，展开后得折痕 $\text{[math]}$ ，又沿 $\text{[math]}$ 折叠使点C落在 $\text{[math]}$ 处，展开后又得到折痕 $\text{[math]}$ ，再沿 $\text{[math]}$ 折叠使点A落在 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究 $\text{[math]}$ 的值为．

数学兴趣小组开展以下折纸活动：先对折矩形 $\text{[math]}$ （已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），使 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，并使折痕经过点 $\text{[math]}$ ，得到折痕 $\text{[math]}$ ，同时得到线段 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .同学们通过观察、探究、计算得到下列结论：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 是等边三角形，③ $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ .其中正确的结论的序号是.

龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．

解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：

实践探究题

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.

【操作】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点M在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使点D落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N.

【猜想】 $\text{[math]}$

综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ．

【操作发现】

课本呈现：

直觉的误差

有一张 $\text{[math]}$ 的正方形纸片，面积是 $\text{[math]}$ 把这张纸片按图 $\text{[math]}$ 所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的 $\text{[math]}$ 个小块按图 $\text{[math]}$ 所示重新拼合，这样就得到了一个 $\text{[math]}$ 的长方形，面积是 $\text{[math]}$ ，面积多了 $\text{[math]}$ ，这是为什么？

小明给出如下证明：如图 $\text{[math]}$ ，可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

因此 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点不共线 $\text{[math]}$ 同理 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 $\text{[math]}$ ．

问题探究：

理论探究题

问题提出：

问题背景：一次数学综合实践活动课上，小致发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图①，已知 A D 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，可证 $\text{[math]}$ . 小致的证明思路是：如图②，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 A D 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，构造相似三角形来证明.

阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．

解决问题：

某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

定义：长宽比为 $\text{[math]}$ （n为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示．

操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．

操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ．

则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ ．

由折叠性质可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，

∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

阅读以上内容，回答下列问题：

【提出问题】如图 $\text{[math]}$ ，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.

证明过程如下：连接CH，

∵正方形ABCD沿CE折叠，

∴∠D=∠B=∠CGH=90°， ① ，

又∵CH=CH

∴△CGH≌△CDH，

∴GH=DH.

由题意可知E是AB的中点，设AB=6（个单位），DH=x，则AE=BE=EG=3，

在Rt△AEH中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）解得：DH= ③ ，即H是AD边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MNIIAD.

【过程思考】

综合与实践

如图

[问题背景]

如图1．数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作；①分别以点B． C 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E、F，作真线EF交BC于点O．连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．

[问题提出]

在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长：

[问题解决]

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连按OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长：

方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．

请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

综合与实践

[问题情境]

如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．

问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线，可证 $\text{[math]}$ ．小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．