备考2024年中考数学探究性训练专题25 图形的相似-组卷题库站

选择题

如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 $\text{[math]}$ 时，标准视力表中最大的“ $\text{[math]}$ ”字高度为 $\text{[math]}$ ，当测试距离为 $\text{[math]}$ 时，最大的“ $\text{[math]}$ ”字高度为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，正方形 $\text{[math]}$ 边长为4，点E在边 $\text{[math]}$ 上运动，在 $\text{[math]}$ 的左侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时， $\text{[math]}$ ；②当线段 $\text{[math]}$ 最短时， $\text{[math]}$ .下列判断正确的是（）

A、 ①，②都正确

B、 ①，②都错误

C、 ①正确，②错误

D、 ①错误，②正确

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足 $\text{[math]}$ ，后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A、两人都对

B、两人都不对

C、甲对，乙不对

D、甲不对，乙对

如图，将 $\text{[math]}$ 的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：

为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小明利用物理学中“光的反射定律”做了如下的探索：如图，找一面很小的镜子放在合适的位置（点E处），小明站在点D处刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小明看镜子的视线与地面的夹角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ），镜子到大树的水平距离 $\text{[math]}$ 为30米，则树的高度为米（注：反射角等于入射角，结果若有根号则保留根号）．

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.小明发现所作的四边形DEFG是菱形，于是小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化，当菱形的个数只有1个时CD的长的取值范围为.

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD.

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 $\text{[math]}$ ，CE=4，则DE的长为.

如图1是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法．如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S₁ ， S₁ ， S₃分别连结AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S₁ ， S₁ ， S₃之间的数量关系为：；②m=（用含S₁ ， S₃的代数式表示m）

理论探究题

阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

小腾发现，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，通过构造 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ．
请回答：

【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．

【应用拓展】

两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若 $\text{[math]}$ ，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比．

图① 图② 图③

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： $\text{[math]}$ ．这就是如下的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．

定义：长宽比为 $\text{[math]}$ （n为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图①所示．

操作1：将正方形 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使折叠后的点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．

操作2：将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ．

则四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

证明：设正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，则 $\text{[math]}$ ．

由折叠性质可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，

∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 矩形．

阅读以上内容，回答下列问题：

已知四边形ABCD中，E ， F分别是AB ， AD边上的点，DE与CF交于点G ，令＝k ．

如图

【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：

如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．

请你完成这一问题的证明过程．

【问题应用】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE＝BF．

综合与实践

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向向终点B匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 方向向终点A匀速运动，连接 $\text{[math]}$ ．设运动的时间为t秒．

阅读下列材料，解决问题：

配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：

例：求多项式 $\text{[math]}$ 的最小值

解： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 多项式的最小值为−7，此时， $\text{[math]}$ ．

仿照上面的方法，解决下面的问题：

如图①，在正方形ABCD中，点E ， F分别在边AB、BC上，DF⊥CE于点O ，点G ， H分别在边AD、BC上，GH⊥CE ．

实践探究题

【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.

【问题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F ，落在墙上的点E处，点E到地面的高度 $\text{[math]}$ ，点F到地面的高度 $\text{[math]}$ ，灯泡到木板的水平距离 $\text{[math]}$ ，木板到墙的水平距离为 $\text{[math]}$ .图中点A ， B ， C ， D在同一条直线上.

图1 图2

根据以下素材，探索解决问题．

测量旗杆的高度

素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线 $\text{[math]}$ ， DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．

素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．

$\text{[math]}$

素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离 $\text{[math]}$ ）

在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度AB ，测量步骤如下：

①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在BE的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离DE＝2m ，小阳的眼睛点C到地面的距离CD＝1.6m；

②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G ，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A ，这时测得小阳到平面镜的距离GH＝3.2m ．请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB ．

通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．

某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量旗杆高度

问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？

组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．

成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：

	方案一		方案二		…
测量工具	标杆，皮尺		自制直角三角板硬纸板，皮尺		…
测量示意图	说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上．		说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据	B，D之间的距离	16.8m	B，D之间的距离	16.8m	…
	D，F之间的距离	1.35m	EF的长度	0.50m	…
	EF的长度	2.60m	CE的长度	0.75m	…
…	…

根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；

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