备考2024年中考数学核心素养专题二十一 几何图形的存在性问题

如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（    ）

如图，一副三角板（ ， ， ）， ， 顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）

如图，直线 ， 直线分别交 ， 于点 ， ， 以点B为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点C使 ， 则的度数是（ ）

题目：“如图，在矩形中， ， ， P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ）

甲：若 ， 则在BC上存在2个点P，使与相似；

乙：若 ， 则的最大值为

如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（    ）．

如图，在中， ， 点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转 ， 射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：

①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为 ． 其中，正确的是（   ）

    

如图，矩形中， ， E为上一点（不含点A），O为的中点，连接并延长，交于点F，点G为上一点， ， 连接 ， ． 甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．

甲：存在点E，使；

乙：的面积存在最小值．

下列说法正确的是（    ）

两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转 ， 如图所示．以下结论错误的是（ ）

某兴趣小组开展综合实践活动：在中， ， 为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形 ， 设点的运动时间为 ， 正方形的面积为 ， 当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（ ）

在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 ， 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点 ， 则直线的“理想矩形”的面积为（    ）

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2， ∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE= DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.有下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.其中正确的是（填序号）.

已知的半径为 ， 的半径为 ， 圆心距 ， 如果在上存在一点 ， 使得 ， 则的取值范围是．

如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点 ， 连接 ， 若满足 ， ， ， 则实数的值为．

如图，在边长为的正方形中，点在边上，且点是边上的动点，连接 ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段若在正方形内还存在一点 ， 则点到点、点、点的距离之和的最小值为．

定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ， 使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）²-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足 ， 连结BF.当点E与点D重合时，BF的值为.点E在上运动过程中，BF存在最大值为.

如图所示，已知在四边形ABCD中， ， .在线段AB上是否存在一点 ， 使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似?若存在，这样的点有几个?若不存在.请说明理由.

已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点 ， 且对任意实数x，都有.二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.

平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 ．

数学课上，老师给出题目：如图所示，在中 ， ， 点D ， E分别是边和边上的动点，且 ， 连接 ， ． 请探究是否存在最小值？并说明理由．

嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M． 线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

对于平面直角坐标系中的线段 ， 给出如下定义：若存在使得 ， 则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．

  

 在平面直角坐标系中，对于和点不与点重合给出如下定义：若边 ， 上分别存在点 ， 点 ， 使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．

问题背景：如图1，在等腰中， ， ， 垂足为点D，在中， ， ， 连接中点，连接 ， 在绕点A旋转过程中，线段之间存在怎样的数量关系？

在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点 ， 轴正半轴上存在点 ，使 ，且 （如图1），则称点P与点Q为 －关联点．

给定图形和点 ， ， 若图形上存在两个不重合的点 ， ， 使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ．

对于平面直角坐标系 中的线段 ，给出如下定义：若存在 使得 ，则称 为线段 的“等幂三角形”，点R称为线段 的“等幂点”．

定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y， 使得数量上y＝x² ， 则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．

已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一个三角形与△ABC相似（全等除外）那么就称P为△ABC的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．

阅读材料，回答问题：

小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

阅读资料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|² ， 所以A，B两点间的距离为AB= ．

我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|² ， 当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r² ．

问题拓展：

如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²　．

综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．

①证明AB是⊙P的切线；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．