2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练2 平方差公式和完全平方公式

若是完全平方式，则的值是（    ）

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=2²-0² ， 12=4²-2² ， 20=6²-4² ， 因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　)

若 ， ， 则等于（ ）

如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（    ）

下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）

一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝6²-3² ， 63＝8²-1² ， 故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（ ）

计算的结果是（    ）

下列运算中，错误的运算有（ ）.

①(2x+y)²=4x²+y²
②(a-3b)²=a²-9b²

③(-x-y)²=x²-2xy+y²
④(x-)²=x²-2x+

我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）

下列运算：①；②；③；④ ， 其中正确的是（    ）

计算：．

如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为．

若 ， 则的值为．

两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 ． 当+＝40时，则图3中阴影部分的面积＝．

观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．

已知 ， 则的个位数字是．

运用乘法公式计算：

计算：

聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．

你会求（a－1）（a²⁰¹²＋a²⁰¹¹＋a²⁰¹⁰＋‥‥a²＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：

（a－1）（a＋1）＝a²－1

（a－1）（a²＋a＋1）＝a³－1；

（a－1）（a³＋a²＋a＋1）＝a⁴－1；

在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：

【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

例如，把二次三项式进行配方

解：

我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为 ， 再如， ， （x，y是整数）所以M也是“完美数”

如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为 ， 图2中阴影部分面积为 ．

  

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 ， 请解答下列问题：

如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．

阅读材料：若满足 （8-x）（x-6）=-3，求（8-x）²+（x-6）²的值． 

解：设8-x=a，x-6=b，则（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2

所以（8-x）²+（x-6）²=a²+b²=（a+b）²-2ab=2²-2×（-3）=10

请仿照上例解决下面的问题：

阅读材料并回答问题：

我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如（2a+b）（a+b）＝2a²+3ab+b²就可以用图①或图②中图形的面积表示.

    

【阅读材料】

我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．