备考2024年中考数学重难创新题1 方程（组）

规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论

①方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝  的图象上，则关于x的方程mx²﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（   ）

如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁ ， x₂ ， 那么x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：

阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③

把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．

把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为

请你解决以下问题：

阅读下列材料：

小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为 ， 解的 ， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为 ．

请你参考小明同学的做法解方程组：

在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法.

解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③

把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.

把y=-1代入①，得x=4，

∴方程组的解决为

请用“整体代换”法解下列方程组：

善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：

解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③

把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1.

把y=-1代入①，得x=4，

∴原方程组的解为

请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：

阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：即③，

把方程①代入③得： ，

      ，

把代入①得 ，

     方程组的解为 ．

请你解决以下问题：

 【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式 ， 即.其中仍然是关于字母的一个整式.

阅读与思考：

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.

【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中 ， 我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.

阅读材料：

材料1：若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x₁、x₂ ， 则x₁+x₂= ，x₁x₂= ．

材料2：已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求 的值．

解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．

∴ ．

根据上述材料解决下面的问题：

（换元思想）阅读材料：

材料1 若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， .

材料2 已知实数m、n满足 ， ，且 ，求 的值.

解：由题知m、n是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ， .

∴ .

根据上述材料解决下面的问题：

我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x²+px+q＝0的两个根是x₁ ，x₂ ， 那么由求根公式可推出x₁+x₂＝﹣p，x₁•x₂＝q， 请根据这一结论，解决下列问题：

已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程  （a≠0）其中一个实数根为2。

先阅读，再回答问题：如果x₁、x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x₁+x₂ ， x₁x₂与系数a、b、c的关系是：x₁+x₂= ， ，例如：若x₁、x₂是方程2x²﹣x﹣1=0的两个根，则x₁+x₂=﹣ = ，x₁x₂= ．若x₁、x₂是方程2x²+x﹣3=0的两个根．