2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破14 构造斜边上的中线-组卷题库站

选择题

如图，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将其折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的最大距离是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 等于（）

如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察探究可以得到∠NBC的度数是（）

如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG﹥60⁰，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）

如图，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 3.5

C、 4

D、 5

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中结论正确的有（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（　　）

A、 8

B、 9

C、 10

D、 2 $\text{[math]}$

填空题

如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边BC上一个动点 $\text{[math]}$ 不与B、C重合），PE⊥AB于 $\text{[math]}$ 于F，M为EF中点，则AM的最小值是.

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长为.

如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A' B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+ B'G的最小值

解答题

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是边 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点O，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E、F在线段AD上，且∠EBC+∠FCB=90°，求四边形BEFC面积的最大值。

如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若MF=AB，求∠DAF的度数．

综合题

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M，N在对角线AC上，且AM=CN，E，F分别是AD， BC的中点

如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在y轴，x轴上，当 $\text{[math]}$ 在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形 $\text{[math]}$ 的形状保持不变，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点 $\text{[math]}$ ，交DA的延长线于点F.若 $\text{[math]}$ ，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.

证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴ $\text{[math]}$ ， AD $\text{[math]}$ BC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴ $\text{[math]}$ ……

如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，

猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 移动；同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

实践探究题

在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

阅读下列材料，完成相应任务．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线．求证： $\text{[math]}$ ．

分析：要证明 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ 的一半．可以用“倍长法”将 $\text{[math]}$ 延长一倍，如图2，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．可证四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，由矩形的对角线相等得 $\text{[math]}$ ，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到 $\text{[math]}$ ．