命题新趋势3 真实情境（1）——2024年北师大版数学八（下）期末复习-组卷题库站

三角形的证明

如图，在 $\text{[math]}$ 港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到 $\text{[math]}$ 岛，乙船到 $\text{[math]}$ 岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（）

小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

A、 20cm

B、 30cm

C、 40cm

D、 20 $\text{[math]}$ cm

一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是 cm² ．

三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建处。

如图，学校要对一块两直角边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直角三角形花圃进行扩建，计划将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形，则符合要求的方案共有种．

如图是一块农家菜地的平面图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这块菜地的面积为 $\text{[math]}$ ．

一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东 $\text{[math]}$ 方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口 $\text{[math]}$ 后相距30海里（即 $\text{[math]}$ 海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度

阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

用等面积法解决问题

周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的．

比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ．

再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．我们也可以利用等面积法求得点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 ② ．

总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．

任务：

为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：

课题	测量河流宽度
工具	测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	观测者从B点向东走到 $\text{[math]}$ 点，此时测得点 $\text{[math]}$ 恰好在东南方向上．	观测者从B点出发，沿着南偏西 $\text{[math]}$ 的方向走到点 $\text{[math]}$ ，此时恰好测得 $\text{[math]}$ ．	观测者从B点向东走到 $\text{[math]}$ 点，在 $\text{[math]}$ 点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达 $\text{[math]}$ 点后，一直向南走到点 $\text{[math]}$ ，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图