人教版数学九年级全册知识点训练营——旋转的奔驰模型及费马点模型-组卷题库站

奔驰模型

如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A ， B ， C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 是正 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段BO以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，下列结论，① $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到；②点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为5；③ $\text{[math]}$ ；④四边形 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论是（）

如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB²＝19， $\text{[math]}$ ，则线段BD的长度是．

如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ．

如图1，P为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

小明同学的想法是：不妨设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设法把 $\text{[math]}$ 相对集中，于是他将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ （如图2），然后连接 $\text{[math]}$ ，问题得以解决．

【问题背景】：如图1，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，观察发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为________，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为________度；

【尝试应用】：如图2，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是等腰直角 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积；

【拓展创新】：如图3，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，直接写 $\text{[math]}$ 的值为________．

阅读下面材料，并解决问题：

问题解决

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .你能求出 $\text{[math]}$ 的度数和等边 $\text{[math]}$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

如图①将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $\text{[math]}$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

阅读下面材料，并解决问题：

回答下列问题：

阅读下面材料：

张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

费马点模型

如图，已知 $\text{[math]}$ ， AB=4，AC=6，点P在 $\text{[math]}$ 内，将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $\text{[math]}$ .则AE+PB+PC的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的长度不小于4，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A、 6

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是矩形内一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一个点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是．

如图，P是边长为2cm的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值是

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内部一点，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 三个顶点之和的最小值是．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解.

阅读下面材料，并解决问题：