勾股定理的规律型问题—北师大版数学八（上）知识点训练

日期: 2025-04-19 复习试卷来源：出卷网

选择题

《九章算术》提供了许多组勾股数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（）

A、 26

B、 101

C、 13

D、 24

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，其面积标记为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $\text{[math]}$ ， …，按照此规律继续下去，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（）

A、 126

B、 127

C、 128

D、 129

填空题

附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3，4，5；

②5，12，13；

③7，24，25；

④9，40，41；…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．

如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $\text{[math]}$ 的值为

图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 $\text{[math]}$ 的直角三角形演化而成的．若图2中的 $\text{[math]}$ ，按此规律继续演化，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

勾股定理 $\text{[math]}$ 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 $\text{[math]}$ 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，分析上面勾股数组可以发现， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…分析上面规律，第6个勾股数组为．

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁= A₁A₂=1.以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃ ，以OA₃为直角边作第三个等腰直角三角形OA₃A₄……依次规律得到等腰直角三角形OA₂₀₁₅A₂₀₁₆ ，则点A₂₀₁₅的坐标为.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 $\text{[math]}$ 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ，…，第 $\text{[math]}$ 个正方形和第 $\text{[math]}$ 个直角三角形的面积之和为 $\text{[math]}$ ．

设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：

如图，在直线 $\text{[math]}$ 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ ，过P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，由勾股定理得 $\text{[math]}$ ；再过P作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；又过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；…依次类推，得 $\text{[math]}$ ．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，以对角线 $\text{[math]}$ 为边作第二个正方形 $\text{[math]}$ ，再以对角线 $\text{[math]}$ 为边作第三个正方形 $\text{[math]}$ ，如此进行下去……，记正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

解答题

当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且 $\text{[math]}$ ，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；

3，4，5；		9，40，41；
5，12，13；		……；
7，24，25；		$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的面积）；

…

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