2025届上海市高三数学一模暨春考数学试题2

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日期: 2025-01-11

高考模拟

填空题：

已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则实数a的值是.

已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位.若 $\text{[math]}$ ，则a+b的值为.

已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是．

函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的渐近线为．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，设三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为 $\text{[math]}$ ，三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

已知函数 $\text{[math]}$ ，则关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

如图，在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

圆 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 点四点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ .

在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则sin²A+sin²B的最大值为．

选择题：

某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，判断下列结论：

（1）月接待游客量逐月增加；

（2）年接待游客量逐年增加；

（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；

（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳.

其中正确结论的个数为（）

设函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且其图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则

A、 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 上为增函数

B、 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 上为增函数

C、 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 上为减函数

D、 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 上为减函数

已知函数 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，存在 $\text{[math]}$ ，所以（）

A、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 零点个数可能有3个

B、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 零点个数可能有4个

C、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 零点个数可能有3个

D、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 零点个数可能有4个

实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，则

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

解答题：

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）设函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及对应的x的值.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证：DE∥平面 $\text{[math]}$

（2）若 $\text{[math]}$ ，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $\text{[math]}$ ，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求定义域；

（2）求面积S的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值．

已知圆 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值和椭圆C的方程；

（2）过点M的直线 $\text{[math]}$ 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.

①若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

②设直线NA的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线NB的斜率为 $\text{[math]}$ ，问： $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值：

（2）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个极值点：

（3）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.（其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）

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