难点十 解析几何中的定值、定点和定线问题

已知双曲线y²﹣ =1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k₁ ， 直线OP的斜率为k₂ ， 则k₁k₂=（   ）

如图，A₁ ， A₂为椭圆 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁ ， A₂的三点，直线QA₁ ， QA₂ ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（   ）

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(     )

已知双曲线 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ， 双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使 ，则 的值为（   ）

若m，n满足m+2n﹣1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（   ）

已知点P是双曲线 ﹣y²=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则 （   ）

已知直线y= x与双曲线 ﹣ =1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率k_PA ， k_PB存在时，k_PA•k_PB=．

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为 ， 焦距为2 ， 过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率。

已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为F₁ ， F₂ ， 以椭圆短轴为直径的圆与直线 相切．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点F₁、斜率为k₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过点F₂、斜率为k₂的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，且直线l₁ ， l₂相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k_OA ， k_OB ， k_OC ， k_OD满足k_OA+k_OB=k_OC+k_OD ， 求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．

已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点P（0， ）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使 +λ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

已知 分别是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ， ， 分别是椭圆的上、下顶点， ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）过 （0,2）作直线 与 交于 两点，求三角形 面积的最大值（ 是坐标原点）．

已知直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点．

（1）求抛物线准线方程；

（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

已知椭圆C₁： =1（a＞b＞0）的离心率为e= ，且过点（1， ）．抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣ ）．

（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；

（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．

（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；

（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）经过点（﹣1， ），其离心率e= ．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C相切，切点为T，且l与直线x=﹣4相交于点S．

试问：在x轴上是否存在一定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称，又圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．