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问题提出:

将正m边形( )不断向外扩展,每扩展一个,正m边形每条边上的点的个数(以下简称“点数”)就增加一个,则n个正m边形的点数总共有多少个?

问题探究:

为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:

探究一:n个正三角形的点数总共有多少个?

如图1-1,1个正三角形的点数总共有 个;

如图1-2,2个正三角形的点数总共有 个;

如图1-3,3个正三角形的点数总共有 个;

……

n个正三角形的点数总共有 个.

探究二:n个正四边形的点数总共有多少个?

如图2-1,连接AC,得到两个三角形△ABC和△ADC,这两个三角形相同之处在于,BC边与CD边都有相同个数的点,即2个点.每个三角形都有3个点,两个三角形就是 个点,因为这两个三角形在AC上有2个点重合,所以1个正四边形的点数总共有 (个);

如图2-2,连接AC,得到两个三角形△ABC和△ADC,这两个三角形相同之处在于,BC边与CD边都有相同个数的点,即3个点,每个三角形都有6个点,两个三角形就是 个点,因为这两个三角形在AC上有3个点重合,所以2个正四边形的点数总共有 (个);

如图2-3,连接AC,得到两个三角形△ABC和△ADC,这两个三角形相同之处在于,BC边与CD边都有相同个数的点,即4个点.每个三角形都有10个点,两个三角形就是 个点,因为这两个三角形在AC上有4个点重合,所以3个正四边形的点数总共有 (个);

……

n个正四边形的点数总共有 ,即 个.

探究三:n个正五边形的点数总共有多少个?

类比探究二的方法:

1个正五边形的点数总共有5个;

2个正五边形的点数总共有12个;

3个正五边形的点数总共有个;

……

n个正五边形的点数总共有个.

探究四:n个正六边形的点数总共有个.

问题解决:

n个正m边形的点数总共有个.

实际应用:

若9个正m边形的点数总共有820个,则m的值为

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